反证法在高考数列考题中的应用

在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾.

例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列.

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列.

解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1.

解析：（1）分两种情况讨论.

所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.

点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视.

例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；

（2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；

（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高.

（2）证明充分性：