有限群的几乎次正规子群与可解性

【摘要】定义1 群G的子群H称为在G中几乎次正规，如果存在G的一个次正规子群N，使得NH和N∩H都是G的次正规子群。 注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反...

摘 要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。

关键词：几乎次正规子群 可解群 有限群

中图分类号：O152 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）001-100-02

在群论中，人们常常利用有限群G的子群的性质来研究原群的结构。1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群G的子群H在G中c-正规的，如果存在G的正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HG。2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群G的子群H在G中s-正规的, 如果存在G的次正规子群K，使得G=HK且H∩KHSG,其中HSG是包含在H中的G的最大次正规子群。2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群G的子群H在G中几乎正规，如果存在G的正规子群N，使得NH和N∩H都是G的正规子群。本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念――几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。文中的所有群皆为有限群，Soc(G)表示G的基柱；H G表示H是G的正规子群；H G表示H是G的次正规子群；H≤G表示H是G的子群;H＜G表示H是G的真子群；Sylp(G)表示群G的Sylowp-子群集合； 表示某一素数集； (G)表示|G|的素因子的集；p,q表示素数。所用的概念和符号参考文献[4]。

1 基本概念

定义1 群G的子群H称为在G中几乎次正规，如果存在G的一个次正规子群N，使得NH和N∩H都是G的次正规子群。

注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设G=S4为四次对称群，H1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是G的几乎次正规子群，但不是G的s-正规子群，也不是G的次正规子群。H2={(1),(1,2),(3,4)}是G的几乎次正规子群，但不是G的几乎正规子群。

为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。

引理1 若群G的子群H在G中几乎次正规，

(1)K是G的子群并且H≤K,则H也K是的几乎次正规子群。

(2)T是G的正规子群且T≤H，则H/T在G/T中几乎次正规当且仅当H/T在G/T中几乎次正规。

证明 (1)H在G中几乎次正规，那么存在N G使得HN G且H∩N G。注意到K∩N K，我们有(K∩N)H=NH∩K K且(K∩N)∩H=H∩N K,故H是K的几乎次正规子群。

(2)H在G中几乎次正规，那么存在N G使得HN G且H∩N G。同时注意到NT/T为G/T的次正规子群，我们有(NT/T)∩(H/T)=(N∩H)T/T G/T且(NT/T)(H/T)=NH/T G/T,即H/T在G/T中几乎次正规。反之若H/T在G/T中几乎次正规，那么存在S/T G/T使得(S/T)(H/T)=SH/T G/T,且(S/T)∩(H/T)=S∩H/T G/T。显然S,SH,S∩H都是G中的次正规子群，即H在G中几乎次正规。

引理2 如果群G的阶是奇数阶或为2n阶, 为奇数，则G是可解群。

引理3 (1)若N≤H≤G，且N G，则N H。

(2)若N G，且N1 G,则N1N/N G/N。

(3)若K G,p∈ (G),则对任意Gp∈Sylp(G)，有K∩Gp∈Sylp(K)。

从而有H包含G的某个Sylowp-子群，则K∩H包含K的某个Sylowp-子群。

引理4 如果H是G的次正规子群，那么Soc(G)≤NG(H)。

引理5 设G为有限群，M为G的极大子群。如果M是G的次正规子群，则M是G的正规子群并且|G:M|=p,p为素数。

证明 显然M是G的正规子群。若|G:M|是合数，则G/M必有非平凡子群A/M，由此得到M＜A＜G,与题设矛盾，故有|G:M|=p。

引理 6 设G为有限群，如果G存在极大且幂零子群M，|M|为奇数，则G为可解群。

2 主要结果

定理1 设G为有限群,G的任一极大子群在G中几乎次正规，则G为可解群。

证明 如果G的任一极大子群在G中指数均为素数，由文献[4]下册p59得G为超可解群，故G为可解群。

设M为G的有合数指数的极大子群，由题设知存在G的次正规子群K使得MK和M∩K均为G的次正规子群。由极大性知必有M=MK或MK=G。若M=MK由引理5得M是G的正规子群并且|G:M|是素数，这与假设矛盾，所以MK=G，由文献[8]知G是可解群。

定理2 设G为有限群，若G的所有2-极大子群在G中几乎次正规，则G为可解群。

证明 假设定理不成立，设G为极小阶反例。由定理1和引理1（1）即可得到G的任一极大子群都是可解的，故G是内可解群。

设N是G的一个极小正规子群，若N＜G,则N是可解群。考虑商群G/N。由引理1（2）可知G/N满足题设条件，故G/N是可解群，因此G也是可解群。若N=G，则G是同构单群的直积，设G=NN1N2…Nk其中Nii=1,2,…,k是与N同构单群，而N=G，故G是单群。由题设条件可知，G的所有2-极大子群为1，从而G的极大子群为素数阶群。因此G的所有Sylow子群均为素数阶群，由[4,第V章，定理6.2]可知G是可解群。

定理 3 设G为有限群，H为G的可解子群而且包含G的某个Sylow2-子群或某个Sylow2-子群的极大子群。若H在G几乎次正规，则G为可解群。

证明 H在G几乎次正规，那么存在G的次正规子群K使得HK和H∩K均为G的次正规子群。令K0=K∩H,若K0=1则K是奇数阶或2n阶，n为奇数，由引理2得K是可解群。若K0≠1，(1)如果H包含G的某个Sylow2-子群，由引理3知K0包含K的Sylow2-子群，而K0是可解群并且也是K的次正规子群，故有次正规列K0 K1 … Kn=K,其中ki-1是ki的最大正规子群,而ki/ki-1是奇数阶（i=1,2,…,n），故都是可解群，所以K也是可解群。(2)如果H包含G的某个子群Sylow2-的极大子群，令P1为包含在H中的G的某个Sylow2-子群的极大子群，P为包含P1的G的Sylow2-子群，由引理3得P∩K为K的Sylow2-子群。易知2=|P:P1|≥|P∩K:P1∩K|，从而有P1∩K包含K的某个Sylow2-子群或K的某个Sylow2-子群的极大子群,所以K0=H∩K包含K的某个Sylow2-子群或K的某个Sylow2-子群的极大子群，并且K0≤H故K0是可解群。由引理3知K0是K的次正规子群，故有次正规列K0 K1 … Kl=K,其中Ki-1是Ki的最大正规子群, 其中Ki/Ki-1是奇数阶或2n阶, n为奇数（i=1,2,…, l），故都是可解群，从而K也是可解群。

由引理3知K是HK次正规子群，有次正规列K=H0 H1 H2 … Hn-1 Hn=HK，其中Hi-1是Hi的最大正规子群（i=1,2,…,n）,注意到HK=HHn-1，我们有Hn/Hn-1=HK/Hn-1=HHn-1/Hn-1 H/H∩Hn-1，即Hn/Hn-1为可解群。同样有Hn-1=Hn-1∩(HK)=(Hn-1∩H)=H'K,其中H'=Hn-1∩H为可解群，我们得到Hn-1/Hn-2=H'K/Hn-2=H'Hn-2/Hn-2 H'/H'∩Hn-2为可解群。同理可证Ki/Ki-1（i=1，2，3……n）均可解群，而K也是可解群，从而得到HK是可解群。

由条件HK是G的次正规子群，同样有次正规列G0=HK G1 G2 … Gm-1 Gm=G，其中Gi/Gi-1（i=1,2,3,…m）都是奇数阶或2n阶, n为奇数，故都是可解群，所以G是可解群。

推论1设G为有限群，如果G的某个Sylow2-子群或某个Sylow2-子群的极大子群在G中几乎次正规，则G为可解群。

推论2 设G为有限群，H为G的可解子群而且包含G的某个Sylow2-子群。若NG(H)在G中几乎次正规，则G为可解群。

证明NG(H)/H是奇数阶从而是可解群，由题设H是可解从而NG(H)是可解群。由定理3即可得到。

定理4设G为有限群，如果G的Sylow2-子群的循环子群在G中几乎次正规，则G是可解群。

证明 若定理不成立，设G为极小阶反例。任取G的真子群H，则由引理1知的Sylow2-子群的循环子群在H中几乎次正规。由极小阶反例可知H可解，从而G为内可解群，由文献[9]得G/ (G)为极小单群。

设P为G的Sylow2-子群。若P≤ (G)，则G/ (G)为奇数阶群，由引理2知G/ (G)可解，从而G可解。若P G，取x∈P使得x (G)，从而有＜x＞ (G)。由条件＜x＞在G中几乎次正规，故存在G的次正规子群K使得＜x＞∩K G，＜x＞K G。

若＜x＞∩K=＜x＞，则存在次正规列＜x＞=K1 K2 … Kn-1 Kn=G，其中Kn-1是G的极大正规子群。而Kn-1 (G)是G的正规子群并且有Kn-1≤Kn-1 (G)≤G,从而得到Kn-1 (G)=G或Kn-1 (G)=Kn-1。若Kn-1 (G)=G得Kn-1=G，这与Kn-1是G的极大正规子群矛盾。若Kn-1 (G)=Kn-1,即得到 (G)≤Kn-1。而x (G)故有 (G)是Kn-1的真子群，从而得到Kn-1/ (G)是G/ (G)的非平凡正规子群，这与G/ (G)为极小单群矛盾。故有＜x＞∩K≠＜x＞，这表明K是G真子群，由于G为内可解群得知K为可解群。

若＜x＞K=G,则存在次正规列K=K1 K2 … Kn-1 Kn=G,并且|Ki+1/Ki|=2 i，(i=1,2…,n-1)，故Ki+1/Ki都是可解群，从而G也是可解群。若＜x＞K≠G,由于＜x＞K G，所以存在次正规列＜x＞K=N1 N2 … Nn-1 Nn=G，其中Nn-1是G的极大正规子群。因为Nn-1 (G)是G的正规子群并且有Nn-1≤Nn-1 (G)≤G,所以得到Nn-1 (G)=G或Nn-1 (G)=Nn-1。若Nn-1 (G)=G得Nn-1=G，这与Nn-1是G的极大正规子群矛盾。若Nn-1 (G)=Nn-1,即得到 (G)≤Nn-1。而x (G)所以 (G)是Nn-1的真子群，从而Nn-1/ (G)是G/ (G)的非平凡正规子群，这与G/ (G)为极小单群矛盾。综合以上得知极小阶反例不存在，从而得到G为可解群。

定理5 设G为有限群，M是G的极大且幂零子群，M2∈Syl2(G),若M2或M2的极大子群在G中几乎次正规，则G为可解群。

证明 若定理不成立，设G为极小阶反例。首先M2≠1且M2不正规于G。事实上，若M2=1,则|M|为奇数，由引理6知G是可解群，与假设矛盾。若M2 G,作商群G=G/M2,则M为G的极大且幂零子群，且|M|为奇数,再由引理6知G是可解群，又M2是可解群，从而G为可解群，矛盾。我们断言M2∈Syl2(G)。因为M2正规于M,所以M≤NG(M2)＜G,由M的极大性得M=NG(M2)。若M2 Syl2(G),则存在P2∈Syl2(G)使得M2＜P2,从而有M2＜NG(M2)=P2∩M=M2,矛盾。故M2∈Syl2(G),由定理3的推论1得到G为可解群，矛盾。所以极小阶反例不存在，从而G为可解群。

参考文献：

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