混合分布形式下预期损失的压力测试及实证检验

基金项目：教育部人文社会科学研究项目“银行体系信贷风险的宏观压力测试研究：基于不同货币政策规则的DSGE模型”（项目编号：12YJC790245）；上海高校青年教师培养资助计划项目“中国银行体系稳定性的宏观压力测试研究”（项目编号：shlx001）；教育部特色专业建设项目；上海市教委高水平特色发展资助项目（JRXY0903）；2013年国（境）外访问学者项目资助

中图分类号：F830.3 文献标识码：A

内容摘要：本文提出运用混合分布模型来模拟生成比较符合市场实际情况的压力情景，采用压力测试方法来量化极端情况下的预期损失。本文以2007年1月4日至2010年9月17日上证综指每个交易日的收盘数据作为样本进行实证分析。使选取的样本区间包含了次贷危机发生的整个过程。目的是为了评估样本期间的股价波动风险。

关键词：预期损失 压力测试 混合分布 矩法校正技术

问题的提出

次贷危机引致金融危机的爆发使得传统风险管理和测量手段即在险价值法的不足得以体现。因此，各银行在使用VaR方法评价和控制市场风险的同时，开始重视评估极端情况下的风险总值，于是目前各大型银行都会进行压力测试。巴塞尔协议III要求对VaR进行压力测试（Stress-testing），鼓励各银行研发内部压力测试方法。研究和开发的重点是压力情景的设计和极端情景下风险的计量方法。本文试图在这两个方面进行创新性研究，一方面构建更加符合金融市场实际背景的压力测试模型，另一方面使用更加合理的风险计量方法。文章的创新性主要表现在：

在进行压力测试时，假设资产收益率的分布是混合分布形式。使用这种假设的原因主要有两点。首先，目前关于预期损失的计算方法主要有三类，一类是优化算法（例如R.T Rockafellar.， S.Uryasev，2002），另一类是非参数算法（O.Scaillet，2004；S. X. Chen， 2005），还有一类是参数算法（例如A.Andreev， and A.Kanto，2005等）。上述演算法各有其缺点，一个主要缺点是风险评估与问题背景几乎无关，对风险值的计算完全以单纯的资产收益数据为基础，没有考虑影响风险的诸如投资者类型、股票类型、波动类型等金融微观市场风险因子。其次，正如Fabozzi， Frank J.Tunaru， Radu 等人（2006）所指出的那样，即使所使用的风险计量方法是兼容的，然而对该风险的估计技术可能会不具有兼容性，主要是不满足次可加性。笔者认为，Gloria Gonzalez-Rivera （2003）给出的兼容性压力测试方法可以部分解决该问题，在其相容性压力测试框架内，同样假设市场风险因数的分布是混合分布形式（他们的市场因子为利率和住房价格等宏观因子）。

本文采用的方法的优点是将风险评估和压力测试同时进行，可以在一定程度上避免测试方法的非兼容性，数理逻辑上更加合理，混合分布假设也可以适当考虑一些金融微观市场风险因子，经济逻辑上更具有参考价值，同时和其它方法相比计算更加简单。

预期损失的压力测试理论框架

（一）压力测试中市场收益率的分布函数

假设市场上有两类资产，比如说假设为两类股票（资产数量很容易推广到具有多个资产的金融市场上），一类是小盘股，一类是大盘股。混业经营的银行可以按照不同的银行资产组合进行分类。还可根据市场参与者的类型，分为机构投资者的投资和个人投资者的投资。显然，因为投资者有不同的投资行为和理念，这会使小盘股和大盘股的股价和股票收益率的波动特征不同，相应的投资的损失和收益的分布不同，在进行压力测试必须考虑到这一点。假设大盘股的收益率（用随机变量X1表示）的分布密度为p（θ1， x），小盘股的收益率（用随机变量X2表示）的分布密度为p（θ2， x），其中θ1、θ2是分布参数。因为整体的经济运行环境是一样的，所以这里假设分布的形式是一样的，只是分布的参数不同。假设整个股票市场的收益率的分布是混合分布，分布密度函数为：

f （x） = k p（θ1， x）+ （1- k） p（θ2， x）

其中k是混合分布比例。为了估计分布函数的参数，首先要设定分布的具体形式。可以假设随机变量X1、X2的分布是服从正态分布的，相应的分布密度为p （μ1，σ1， x）、p（μ2，σ2， x）。当然可以是其它的分布形式，本文选用正态分布假设形式的原因为：一是假设为正态分布的话，相对容易估计参数；二是根据后文的实证分析结果，用正态分布假设足够模拟实际数据，有良好的模拟效果。整个股票市场的收益率的分布函数如下：

f （x） = k p （μ1，σ1， x）+ （1- k） p （μ2，σ2， x）

其中σ1、σ2和μ1、μ2是随机变量X1、X2分布的标准差和均值。因为收益率常用对数形式表示，所以可以使用贝叶斯方法、期望最大化算法、极大似然估计等方法来估计上面的参数。在一般情况下，当很难直接优化参数的似然函数的时候，期望最大化算法是求解模型分布参数的极大似然估计方法。但是本文没有采用这种方法，原因是：虽然理论上期望最大化算法能保证收敛，但是收敛速度不稳定，甚至计算过程中有时会出现奇异矩阵，从而使得收敛失败，并且这种参数估计法只能保证收敛到局部极值（R.A .Redner and H.F .Walker，1984）。估计本文所涉及的两因子混合分布模型的参数，如果采用矩法矫正估计方法，只需要解一个方程组就可以了，所以相对于期望最大化算法，这种方法计算较为简单，结果更稳定和准确。

（二）参数估计的矩法校正方法

因为股票市场的收益率常常是很小的，所以可假设μ1、μ2 为0。如果实际情况不是0，也可采用其它方法来先估计出均值，再作一个平移变换。另外由于在计量风险的时候，均值不是重要的参数，方差才是最关键的参数。整体市场收益率为x1 ， x2 ，...， xn，需要估计的参数是k、σ1和σ2。这要求校正二阶、四阶和六阶矩。因此首先对上述的整个股票市场的收益率的分布函数求二阶、四阶和六阶矩，得到如下方程组：

其中m4 、m6分别表示四阶、六阶矩。根据正态分布的性质，可将上述方程转化为：

根据上述方程可以解出参数，这样就得到混合分布具体的形式，下面就可进行情景模拟了。

（三）计算预期损失

假设股票的收益率序列（或者模拟出的收益率序列）为x1 ， x2 ，...， xn，将收益率序列按升序排列为x（1）， x（2），...， x（n），根据C.Acerbi 和D. Tasche （2002）的研究结果 ，有下面的等式成立：

其中[x]表示不超过x的最大整数，当n很大时，可以用等式的右边部分近似地计算预期损失。

实证检验

本文利用上述方法对我国上证综指的波动风险进行评估，以2007年1月4日至2010年9月17日上证综指每个交易日的收盘数据作为样本进行实证分析。使用的样本区间包含了次贷危机发生的整个过程。在此期间股票市场的表现较不稳定，股票价格波动剧烈，给部分投资者造成巨大损失，因此进行风险评估是尤为必要的。

从表1可以看出，与正态分布相比，上证指数的峰度是11.959，大于3，这说明上证指数的收益率分布具有厚尾特征，要使用具有厚尾特征的分布来进行模拟。由于是非线性方程组，所以本文采用内点法求解方程组。表2是参数的估计值。

接下来是生成压力测试的模拟情景。这需要模拟出具有上述混合分布的随机变量。其做法是：第一步是产生在{1，2}上取值的离散随机变量Y，并且满足条件P{Y=1}=k，P{Y=2}=1-k，其中k是混合分布比例。第二步是产生随机变量X，其密度函数为Φ（μY，σY，χ），这里X的分布就是混合分布。模拟次数N分别取10000、30000和50000次。表3是相应模拟次数的一些基本统计量，从表3和表1可以看出：实际历史数据的峰度、标准差、均值都模拟的结果很相近，并且模拟次数越多，模拟的结果越接近实际历史数据。

说明压力测试情景结果的合理性的更加直接的方法是给出模拟数据和历史数据之间的QQ图，通过对两种数据的分位数进行比较可以更加全面进行资料对比。从图1可以看出，QQ图近似在一条直线上（本文只列出模拟次数为50000次的结果，其它两种图形有类似结果），说明模拟数据的分布和实际历史数据模拟的分布是相同的。同时这也说明了本文的方法是可以捕捉到股票数据的部分波动特征的。

完成设计压力测试的模拟情景之后，接下来是计算在不同置信水平下的风险指标值即预期损失。表4是在压力测试情景和历史情景下的预期损失。从表4可以看出：随着置信水平的不断提高，预期损失也会越大；实际历史数据与模拟数据计算的结果有些许的不同，但预期损失并不是明显地变小或变大；模拟次数越多，计算结果越向历史数据接近。这说明本文估计预期损失的方法是有效和稳健的，利用本文的压力测试方法可以发现一些极端事件，并评估极端事件的影响。

结论

本文在设计压力测试情景时，采用了混合分布形式下的模拟法，并且发现模拟法产生的压力情景和历史真实情形很接近，这说明了假设收益率的分布是混合分布形式是合理的假设。在估计方程组的参数时，本文采用矩法校正技术，实证分析的结果说明：该方法可以较好地检测到收益率的厚尾分布特征，计算预期损失时是稳健的。投资者和交易员可以利用该方法来评估极端事件对投资组合预期损失的影响，并针对性地实施风险管理策略。

参考文献

1.Rockafellar R.T.， S. Uryasev， Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions， Journal of banking and finance， 2002，26

2.Scaillet， O. Nonparametric estimation and sensitivity analysis of expected shortfall， Mathematical Finance， 2004， 14

3.Chen， S. X. . Nonparametric Estimation of Expected Shortfall. Technical report 2004-14，Department of Statistics， Iowa State University，2005

4.Andreev， A.， and A. Kanto. Conditional value-at-risk estimation using non-integer values of degrees of freedom in Student’s t-distribution. Journal of Risk， 2005（2）

5.Fabozzi， Frank J.Tunaru， Radu. On Risk Management Problems Related to a Coherence Property， Quantitative Finance， February 2006

6.Gloria Gonzalez-Rivera .Value in Stress： A Coherent Approach to Stress-Testing， The Journal of Fixed Income， September 2003

7.Redner R.A， Walker H.F. Mixture density， maximum likelihood and the EM algorithm. SIAM Review， 1984， 26（2）

8.Acerbi， C. D. Tasche. On the coherence of expected shortfall， Journal of Banking and Finance， 2002， 27（6）