向“错题”要效益

在平时的教学、作业和测试中，学生解题经常出现形形的错误。面对这些错误，老师的做法通常有三种：一是直接把正确的答案告诉学生；二是进行集中讲评，告知学生错因和注意事项，要求学生不要再犯类似的错误；三是对学生容易出错的地方提前暗示，事先指出。而很多学生的做法是将错误答案改成正确答案就完事，宁愿大量重复做题也不愿在错题上多花时间，其结果是，不久之后学生的错误又死灰复燃，甚至屡次犯下同样的错误。究其原因是我们对错题的利用不够充分，错题的效益得不到体现。

英国心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不可原谅的。”面对日常教学中学生出现的错解，教师该如何利用呢？笔者在日常教学中深切地体会到，只有把来自学生的“错题”当作一种宝贵的资源，在老师的教学、学生的学习、试卷的命题工作中加以研究、开发并利用，“错题”才能发挥其不同寻常的效益。

一、利用错题资源开展教学工作

学生所犯的错误分散在平时的作业和测试中，虽然老师做过及时的讲评，但由于是零星的、散装式的点评，因而难以形成较强免疫力的“思维模块”，时间稍长就会遗忘。另外，学生的有些错误恰恰是学生思维的真实反映，实际上还蕴含着不少宝贵的“思维亮点”，这种错误不能单靠正面的示范和反复的练习得到根除，必须经历一个“自我否定”的过程。如果把学生的错误这种生成资源在课堂上充分展示出来，挖掘其产生错误的内在因素，将有利于学生的自主建构，让学生真正体验“自我否定”的过程。为此在平时的教学中，教师应做个有心人，及时对学生的错误作适当登记，并找出内在的规律，在单元小结课中，通过适当的形式，形成似曾相识的纠错题组，开展教学工作。

【案例1】学生在三角函数的学习中，经常因为不注意一些隐含条件的挖掘，在解题判断时经常出错，如同角三角函数之间的关系、正余弦函数的有界性、角度范围的压缩等，为此笔者利用了以下题组，让学生独自练习。

（1）若θ为第二象限角，

（2）设α是第三象限角，问是否存在实数m，使sinα、cosα是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根，若存在，求出m；若不存在，说明理由。

（3）已知 的最大值和最小值。

（4）已知tanA、tanB是方程x2+6x+7=0的两根，且

求A+B的值。

学生的错误果真得以再现：（1）忽视同角三角函数之间的关系，仅得 ，事实上，利用sinθ2+cosθ2=1，得m=0（舍去）或m=8，故 。（2）由韦达定理得

，消去α得m=2或 ，由于α是第三象限角，m=2。许多学生都答存在m=2满足题意，其实，无论代入原方程检验得

其实，原方程的两根均为负数，于是

通过纠错题组进行教学，不仅使学生找到了解题的症结所在，从而进行自我否定，而且发现了一些寻找隐含条件的常用方法，使学生用更严谨的思维去审视数学解题，体现了纠错的价值所在。

二、利用错题资源改进学习方式

著名教育家皮亚杰认为“错误是有意义的学习所必不可少的”。我们该如何利用错题，引导学生进行有意义的学习呢？人最有价值的行为和语言往往是自省和反思。而数学思维本身就是一种反思性思维，力求从最少的问题中发现最多的规律，受到最好的启发，得到最佳的学习效果。所以，引导学生进行有意义学习的一种重要途径是学生进行自行纠错。首先让每个同学准备一本纠错本，把作业、练习卷、测试卷中的较典型的、易混淆的题记到错题本中，然后进行两个层次的反思。第一层次反思：找出错在哪里？为什么出错？是知识性错误，还是粗心、计算等其他原因导致错误？怎样才能避免错误？另外可让学生对同一类型的错题做上标记，以便下一次翻阅。第二层次反思：鼓励学生在整理错题时，利用知识点是一环扣一环、层层拓展开去的特点，可写下当初解此题时的心路历程，不断地剖析自己、责问自己，对学习行为做出自我评价，并在批判的基础上对知识进行分解与重组。事实上，整理错题的过程又是一次深刻理解、巩固知识的学习过程，是学生最好的自主学习过程。以下是摘自学生纠错本中的题。

【案例2】椭圆 的焦点为F1、F2，点p为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时点p的横坐标的取值范围是_______。

错因：（1）没有想到有向量的方法；（2）没有想到用极限思想先求90°的情形。

对策：要在平时的学习过程中多思考，知识之间要相互联系。

心得：平时要养成一题多解和一题多变的学习习惯，要学会像老师那样对题进行一些加工和延伸，这样在考试时才能运筹帷幄。

变题：（1）椭圆 的焦点为F1、F2，点p为其上的动点，当∠F1PF2为锐角时点p的横坐标的取值范围是 。

（2）若椭圆 的焦点为F1、F2，点p为其上的动点，当∠F1PF2为锐角时点p的横坐标的取值范围是 。

学生自觉地、认真地建立起纠错本后，在单元考试和期中、期末考试复习时不必再搞所谓的“题海战术”。教师可以让学生拿出自己的纠错本，解答自己的错题，在最短的时间内最有针对性地给自己查漏补缺，再次反思自己在解题过程中学到的知识和方法，吸取经验教训。这样既能让学生学到最有用的数学，还可以让学生最有效地学习数学。漫长的寒暑假，教师担心学生会遗忘一学期所学的知识，所以布置大量的作业加以巩固。而学生又讨厌太多的作业，他们埋怨老师不善解人意。这时，纠错本又可以将矛盾化解。教师可以让学生在假期里重温纠错本里的错题，规定每天做3～5道，抄下题目，然后做个自我小检测；对再次错的习题决不放过，做上记号，第二轮再做，直到全部攻克。

通过纠错本，学生开始反思错误。当学生真正养成反思习惯时，他们才能真正成为学习的主人，才能不断地超越自我、完善自我。诚然，学生的数学知识与技能必将得以巩固，数学思想方法得以有效的渗透，思维能力和思维品质得以优化和发展。

三、利用错题资源，编制数学试卷

通过纠错题组教学和不断地引导学生反思错误并纠错的过程中，老师要对学生的纠错效果进行评价，让学生体会到“在哪里跌倒就在哪里爬起来”的成功愉悦感。一是可以采取学生合作的形式，同桌两人为一组，在对方的纠错本中抽抄5道对方的错题，然后交于对方解答。等对方完成后，批阅对方的解答（可参阅对方纠错本里的正确解答），向对方反馈解题的情况，评出成绩，订正完成后上交于教师。教师最后了解学生掌握的情况，并强调对再次做错的题要做上记号。可以每周一次，每次大约30分钟的时间，当作当天的作业完成。这种形式的测试充分发挥了学生的自主性，但难把规范关，费时较多。二是采取师生合作的形式，教师从学生的纠错本中或教学过程中搜集学生集中性、典型性的错题（可以改变某些条件）出一份卷子（题量适中），利用每周日晚上学校组织的统一纠错考试进行检测，第二天订正完成。这种形式易形成较规范的形式，大量节省了学生的时间，但学生的自主性降低了，对某些学生的针对性不强。

【案例3】在学习完《导数及其应用》之后，教师出了这样一份卷子（节选）。

1.函数 的单调增区间为_______。

2.已知函数 在内单调递减，求实数的取值范围。

3.函数 处有极值10，求a、b的值。

4.已知函数 =_____。

5.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a=___。

试卷的选题来自于学生纠错本中的集中题型，但并不是其中的原题，对数据等稍作修改，充分考查学生的纠错效果。认真对待纠错的学生自然做得得心应手，有较强的成功感受；而并没有真正掌握的学生会依旧出错，通过这种负强化，进一步促使他们认真对待纠错。

珍视并合理地利用学生解题中的错误，注意在学生的错误中生成教学资源，以此为契机，完善学生的知识结构，优化学生的思维品质，在学生自身不断地“识错”、“思错”、“纠错”的过程中，转化学习方式，变单纯地接受知识为积极主动地发现和构建知识，利用错题编制数学试卷，使学生获得从失败走向成功的体验。

谁愿意在解题中出错？可谁不会在解题中出错？又有谁不乐于超越错误？在如此多的“错题”面前，我们要正视它、利用它，不断地纠错、反思、评价，精心组织我们的教学过程，最大限度地发挥“错题”的效益，为我们的教与学服务。

[参考文献]

1.钱军先等《让数学课堂在学生的错误中生成精彩》（《中学数学教学参考》（上旬）2010.10）

2.程旭升《导数应用常见错解剖析》（《中学数学教学参考》（上半月）2008.11）

（作者单位：浙江省台州市黄岩第二高级中学）