浅谈对分数指数幂定义的理解及相关教学

摘要：本文由分数指数幂的定义出发，讨论利用根式定义正数的分数指数幂的定义的合理性，以及在此定义下运算律的相容性，并检验该定义用在负数的分数指数幂时的局限性。提出利用棣莫弗定理定义实数分数指数幂并分析其合理性，最后给出个人对必修1中相关内容教学的建议。

关键词：分数指数幂 幂函数 棣莫弗公式

引子：2011年陕西文科卷选择4：

显然，出题者认为 ，并依此画出了函数 在 上的图像。但是要注意，高中数学课本中只用根式来定义正数的分数指数幂，那么，是否能也用根式来定义负数的分数指数幂，或者说，用根式来定义负数的分数指数幂是否合理？

一、用根式定义正数的分数指数幂的合理性：

用根式来定义正数的分数指数幂，该内容在普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修1（以下简称必修1）第二章2.1.1中给出，位于教材第51页。在51页的右上角有段小字“这里，我们略去了规定合理性的说明”，对于用根式定义正数的分数指数幂的合理性，我认为主要有以下两点：

⒈用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的相关定义相容：

一个运算的定义首先不能产生歧义，对一个数按一定法则计算，必然会得到唯一确定的结果：如果一个代数式运算出来结果即可以为 又可以为 ，那么只能有 这个结论。所有的整数都能写成分数的形式，既然整数 ， ，那么， 也应该等于 ，即 个 之积等于 个 之积的 次方根（或 个 的 次方根之积），由 次方根的定义易知左右相等，因此正数的分数指数幂的定义能够与整数指数幂的定义相容。

⒉用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的运算律相容：

即必修1第51页列出的三条运算律：

⑴

⑵

⑶

这三条运算律在根式的定义下也成立。对于一个分数 ，可以将它看成 ，也可以看成 ，对于作为指数的分数来说，两种不同的看法在运算律⑵的计算下得到的幂应该相等。在根式中，对于一个正数 ， ，从而 ，这是很重要的一个性质，它回答了这样一个问题：“对于一个正数 ，为什么 而不是 ？——两种写法都可以，应为它们相等。”

二、用根式定义分数指数幂的局限性：

必修1课本中并无指出对于负数 ， 的分数指数幂如何定义和计算。这就引出一个问题：用根式来定义负数的分数指数幂是否合理？假设对于负数 ， 或 ，下面来考察该定义的合理性（由于涉及到负数开方，数域范围选择复数域）：

⒈考察定义运算的唯一性：

教师用书第55页的教学分析中指出：“当指数从整数指数推广到了有理数指数后， 以及指数的运算性质中均增加了限制条件“ ”或“ ， ”，”并举出了如下反例：

这说明用根式来定义负数的分数指数幂， 既可能是2也可能是 ，运算结果将不唯一。

那么，定义 是否更合理？ 这样上面的反例将不适用：

在此定义下还能证明一般的结论：

设 ， ， ，

而

所以 。

由上面的讨论可知，从定义运算的唯一性来说， 是不合理的， 相对合理。

⒉考察 对于指数幂运算律的相容性：

⑴假设对于负数 ， ，能否满足 ？

反例：

所以该定义与 不相容。

⑵假设对于负数 ， ，能否满足 ？

反例：

所以该定义与 不相容。

⑶假设对于负数 ， ，能否满足 ？

反例：

所以定义与 不相容。

如果将 换成 ，通过同样的反例可以得到，该定义仍然与三个运算律不相容，因此，从运算律的相容性方面来看，定义 或 都是不合理的。

三、对必修1分数指数幂教学把握的体会：

⒈由于用根式定义负数的分数指数幂将出现种种的不合理性，必修1在指数教学部分刻意回避了负数的分数指数幂的定义，为了避免学生将根式计算套用到负数的分数指数幂中，教学中可以说明“负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法”。

⒉对于书中指数幂的运算律，教师应该知道其适用范围不仅局限于“ ”。

⒊由本文二、三部分的讨论可知，负数的分数指数幂可以用棣莫弗公式来计算。由于计算时将负数写成复数三角形式，其幅角主值为 ，这样使得负数的（既约的）分数指数幂幅角的终边无法落在 轴非负半轴上，计算得到的结果必定是一个虚数。因此在教学中要注意根式和分数指数幂的区别，避免将 与 混为一谈。

⒋对于幂函数 ，应遵循教师用书中的要求，只讨论 的情形，避免出现讨论 或 的奇偶性、图像等等的问题——负数的（既约的）分数指数幂都是虚数，因此对于 是（既约的）分数的幂函数，其图像只能位于第一象限：

。

注释： 【1】http：///wiki/Exponentiation