指导学生运用分类讨论解决数学问题

【关键词】分类讨论 数学问题 概念型 性质型 图形型

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2012）10B-

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分类讨论是思考问题的重要方法。它能够把一个复杂的问题简单化，让问题的解决体现全面性。在初中数学教学中，教师要善于指导学生运用分类讨论的方法解决数学问题，培养他们思维的全面性、条理性、逻辑性。初中数学问题按性质分，可以分为概念型问题、性质型问题和图形型问题这三大类。本文谈谈对于这三大类数学问题如何引导学生运用分类讨论的方法去解决。

一、分类讨论解决概念型数学问题

数学概念是数学知识体系的最小单位。初中生如果对数学概念掌握不好，就不可能学好数学知识。在初中数学教材中，有很多概念型的数学问题，教师需要引导学生运用分类讨论的方法去解决，促进学生对数学概念内涵和外延的理解。

例如，“有理数”这一数学概念，在教材中分别根据其性质和符号进行分类。按照有理数的性质分，它可以分为整数和分数两类；按照有理数的符号来分，它可以分为正有理数、0、负有理数三类。在练习中设计了这样的题目：

数扩展为有理数之后，下面结论还成立吗？请说明理由。

①若两个数的和是0，则这两个数都是0。

②任何两个数相加，和不小于任何一个加数。

对于这样的问题，教师往往会让学生通过举反例进行论证。但是，尽管学生能轻而易举地举出许多例子，却不能说明已经达到设计此题的教学目的要求。这个问题的教学目的是从两个加数的符号分类讨论有理数的和的各种情况。因此，教师在讲解时，应通过举例运算，让学生仔细观察，运用分类的方法归纳出两个异号的有理数相加，其结果可以分为三类：第一类，两个数的绝对值相等，这两个数的和为0；第二类，正数的绝对值大于负数的绝对值，两个数相加的和为正数；第三类，正数的绝对值小于负数的绝对值，两个数相加的和为负数。这样，通过分类讨论，不仅使问题得到解决，更重要的是让学生对有理数的概念获得更深入的认识。

二、分类讨论解决性质型数学问题

初中数学教材中的数学公式、数学定理、数学法则、数学性质等一般都是根据不同的情况分进行分类描述的。对于性质型的数学问题，指导学生用分类讨论的方法去解决，能够帮助学生提高解题效率和数学思维能力。

例如，“一次函数”这课中有这样一个数学性质：对于一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），当k>0时，y随着x的增大而增大；当k

在解决这个问题时，教师可以引导学生将k分两种情况进行讨论：

①当k>0时，由-1≤x≤5得-k+b≤kx+b≤5k+b，即-k+b≤y≤5k+b，由-10≤y≤10比较可得-k+b=-10，5k+b=10，解得k=10/3，b=-20/3；

②当k

因此，所求的函数解析式为y=10x/3-20/3或y=-10x/3+20/3。同样，对于反比例函数k也可分成k>0和k

这样，学生就能够通过分类讨论对一次函数的性质获得深刻的理解，培养思维的深刻性与严密性。

三、分类讨论解决图形型数学问题

培养学生的空间观念是数学课程标准提出的重要教学目标。在指导学生解决图形型数学问题时，利用分类讨论的方法能够有效培养学生的空间观念，提升学生的数学素养。

问题1：等腰三角形的两角之差为60°，求该三角形各内角的度数。

对这道题可以这样引导学生进行分类讨论：

设较小内角为x，则较大内角为x+60°。

①当较小内角为底角时，x+x+（x+60°）=180°，解得x=40°。

②当较小内角为顶角时，x+（x+60°）+（x+60°）=180°，解得x=20°，x+60°=80°。综合起来，该等腰三角形的各内角为40°、40°、100°或20°、80°、80°。

问题2：若三角形的周长为17，且其三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个？

对这道题可以引导学生根据三角形的边长进行分类讨论：

设三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c为正整数，a≥b≥c。由a+b+c=17，a

分类讨论能够使复杂的问题简单化，这样学生就有了解题的突破口，使问题能迎刃而解。同时，运用分类讨论解决数学问题能够有效地培养学生的数学思维能力。所以我们应该重视这种方法在数学教学中的运用。

（责编 王学军）