平均值不等式

摘 要：介绍了一些常见的平均值不等式的运用技巧，并分别举出与其对应的例题.

关键词：平均值不等式；运用技巧；例题

平均值不等式是高中数学不等式一章中的最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查学生素质能力的一个窗口，是高考和竞赛的热点，它在数学领域有非常重要的作用.

因此，本文总结了一些常见平均值不等式的运用技巧，并对相关技巧分别举例.

平均值不等式是不等式的重要内容之一，在不等式证明有广泛的应用，但是在处理有关平均值不等式的证明问题时，并非每一个问题都可以看出它是否可以使用均值不等式，这就存在一个如何创造使用均值不等式的环境问题.此时会用到平均值不等式的一些运用技巧.

一、拆项法

注意到使用n次平均值不等式的前提必须是有n个和项或积项（注：在高中阶段只要求n=2或n=3两种情况），有时题设不具备n个项，这时我们可以考虑把一项或几项进行分拆，产生n个项，以创造均值不等式的使用环境.

例1.已知a>b>0，求证a+■≥3.

证明：由a>b>0知，a-b>0，■>0，

于是a+■=（a-b）+b+■≥3■=3

当且仅当b=a-b=■，即a=2，b=1时等号成立.

二、添项法

对不具备使用平均值不等式条件的关系式，添加一些关系式，创造均值不等式使用环境，也是一种常用手段.

例2.设x1，x2…，xn都是正数，求证：■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

（1984年全国数学竞赛试题）

分析：由于左右两边均为和和式，直接使用均值不等式受阻，所以必须对原关系式填项，其目的一是去分母，二是降次.

证明：由x1，x2∈R+，知■+x2≥2■=2x1

同理可得■+x3≥2x2…，■+xn≥2xn-1，■+x1≥2xn

将这n个不等式两边分别相加，得到

所以■+■+…+■+■+（x2+x3+…+xn+x1）≥2（x1+x2+…+xn）

所以■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

三、减项法

多元轮换对称不等式，常可利用减元或减项的方法化为二元不等式，创造使用均值不等式的环境，然后轮换相加，以达到证明目的.

例3.已知a、b、c∈R+，求证：■+■+■≥■+■+■.

分析：考虑到待证不等式为三元轮换对称不等式，减元c，即为■+■≥■，由此不等式轮换相加即可.

证明：因为a、b、c∈R+，所以：■+■≥2■=■≥■

同理可证■+■≥■，■+■≥■

三个不等式相加即得：■+■+■≥■+■+■

四、代换法

此方法多用于含三角函数的题，可想办法将其用变量代换.

例4.0

（1999年河南省高二竞赛题）

解：令tan■=t，由0

五、改变结构法

有些不等式仅从式子结构上看并不具备使用均值不等式的环境，但如果对结构式做适当的变化，解决的方式就一目了然了.

例5.已知ai、bi，∈R+，i=1，2，3.求证：

■≥■+■

分析：作恒等变形，改变待证不等式的结构，即要证

■+■≤1

事实上， ■≤■（■·■·■）■≤■（■·■·■）两式相加即可得证.

平均值不等式始终贯穿于高中数学和大学数学中，它是不等式的基础，是应用最广泛的灵活因子.本文主要介绍的一些常见平均值不等式的运用技巧，体现了平均值不等式在数学问题中的灵活性、广泛性与重要性.

参考文献：

戴永.知识专题与方法技巧（高中数学）.天津：天津科学技术出版社，2004.

（作者单位 内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔区谢尔塔拉中心学校）