成本预测中高低点法的误差分析

一、高低点法的缺陷

高低点法（High-low Method）是指在一定时间内的历史数据中，选取两点，最高业务量及其所对应的成本和最低业务量及其所对应的成本，用方程y=ax+b进行拟合，来预测未来可能产生的生产成本。即：a=单位变动成本=■，b=y-ax= 最高（低）产量成本-a×最高（低）产量。在实际生产中，总成本呈线性增长只是一个理想化的假设，而由高低点法所计算出来的数值也因此将与实际情况产生一定的误差。下面，我们将运用两个更趋近于现实的成本增长曲线来对高低点法进行误差分析。

二、高低点法误差分析

利用高低点法进行误差分析，能够更精确地对成本进行预测，其具体方法如下。

（一）对数增长 在实际生产中，总成本以对数形式增长是规模经济的一种很好的体现方式。假设，总变动成本（TVC）=loga（x）且a＞1，x＞0，将其求导，得出成本变化率为■=■。当a为常数时，随着x的增加，边际成本下降，符合规模经济下总变动成本的变化方式。b为总固定成本（TVC），在短期生产中所必需的固定投入，不随产量变化而改变。因此，总成本（TC）=TVC+TFC，函数形式表示为：

y=loga（x）+b （1）

如图1所示，由于x＞0，所以函数y=loga（x）+b将与直线y=b相交却并不会通过（0，b）点，但是在产量很大的情况下，此误差值占总产量比例很小，可以忽略不计。所以，我们近似认为此函数将通过（0，b）点。

在y上任取两点Xmin和Xmax（Xmax＞Xmin）， 模拟在一定历史数据中的最高点和最低点。构造函数：y=cx+d，表示由高低点法所拟合的方程。将Xmax点固定，可以发现，随着点Xmin数值的减小，斜率c随之而增大，所预测的固定成本d减小且接近实际固定成本b。特别地，当Xmin=（0，b）时，预测固定成本与实际固定成本相等。 反之，将Xmin点固定，随着点Xmax的增大，斜率c将随之减小且预测固定成本增加并远离实际固定成本。下面，我们来对误差值进行具体分析：假设：Xmin=（x1，y1），Xmax=（x2，y2），实际成本曲线与高低点法成本预测曲线分别为：

yr=loga（x）+b （2）

yp=cx+d （3）

首先，我们对固定成本预测进行误差分析：

将点（x1，y1）和（x2，y2）两点坐标值分别代入方程yr和yp，可以求出参数a，b，c，d的数值，其中，a=（■）■，b=y1-log（■）■（x1）， c=■，d=y1-■x1 。由于实际固定成本与预测固定成本之间误差为：■所以固定成本预测的误差为：

Sf=■=■ （4）

当x1，y1和a值为确定时，随着斜率c的增加，误差值Sf减小。

对于变动成本的误差分析而言，假设所需预测点为X0=（x0，y0），那么所预测的变动成本即为高低点法成本预测曲线的斜率，即c，实际所预测点的变动成本为实际成本曲线于此点的导数，即 y'（x0）=■。所以变动成本预测的误差为：

Sv=■=■x0ln（（■）■）-1 （5）

从以上两个公式中可以看出，固定成本误差取决于最高点与最低点的取值，与所预测点无关，而变动成本误差则与三点皆有关联。特别地，最高点Xmax与最低点Xmin之间的平均变动成本并非高低点法成本预测曲线的斜率c，而是

AVC=■ （6）

因此，在最低点为Xmin=（x1，y1），最高点为Xmax=（x2，y2），预测点为X0的情况下。

实际总成本曲线：yr=loga（x）+b

高低点法成本预测曲线：yp=cx+d

总成本预测误差为：

St=■=■ （7）

也可用方程y=kloga（wx+t）+b， x＞■来表示实际总成本变化曲线，其误差分析法与上所述类似。

（二）近似logistic 曲线的反函数形式增长 logistic曲线是一种常见的S型曲线，被广泛应用于人口预测，数学，统计学，生物学，经济学等众多方面，其S形状的增长与很多现实情况相吻合。在最初的增长阶段，增长呈近似于指数形式，起初缓慢进而迅速增长，但在随后的稳定期，生长放缓并最终达到饱和，停止增长。我们用y=■函数来表示logistic曲线。对于边际成本而言，虽然在一定时期内，边际成本会由于规模经济的作用，随着产量增加而降低，但是，在超过这一范围之后，根据边际效用递减原则，大量生产会导致由于管理，营销费用的上升或市场趋于饱和等因素，单位成本转而上升。因此，在实际生产中，边际成本为先减少而后增加的曲线。但是，logistic 曲线的增长速率为先增加后降低，这正好与实际总成本情况相反，因此，我们用logistic 曲线的反函数（其与logistic 曲线关于 轴对称）来对实际总成本曲线进行模拟。logistic 曲线的反函数为：

y=-■ （8）

logistic曲线与其反函数曲线如图2所示：

因此，实际总成本增长曲线为：

y=-■+e+d （9）

其中，e总固定成本，d为反函数上移距离（由于logistic 曲线并不与直线y=■或y=-■相交，d为其与直线y相差距离，当x趋于正（负）无穷时，d值可忽略不计，这里d为方程y（0）与y轴相差距离）。由于在产量很大情况下，我们使d值与产量Q相比足够小，使其忽略不计，相似地认为y（0）与y轴交于点y（0，e）。从图2中可以看出，logistic反函数曲线与logistic 曲线呈现出相反的速度增长趋势，即：增长速率先减缓再增加，与短期总成本增长曲线相似。其中，当x=0时，logistic反函数曲线的速度增长达到最缓。下面，我们来对在此种总成本增长曲线情况下，运用高低点法对固定成本预测所产生的误差进行分析：

假设：Xmin=（x1，y1），Xmax=（x2，y2）

高低点法成本预测曲线为：y=fx+g

那么，预测固定成本为g，实际固定成本为e，但是与前面呈对数增长不同的是，高低点法所预测的固定成本可能小于实际固定成本，甚至为负数。

Sf=■=■ （10）

特别地，由于logistic反函数曲线的特性，最高点与最低点在不同的定义域区间内会对误差值有很大的影响：

当Xmax，Xmin∈［0，■］时，如图3所示：

误差值的情况与总成本呈对数形式增长相似，将Xmax固定时，预测固定成本g随着Xmin减小而减小，而当Xmin点固定时，预测固定成本g随Xmax增大而增大，且g-e?叟0。

当Xmin∈［0，■］，Xmax∈（■，a］时，如图4所示：

将Xmax点固定，预测固定成本g随着Xmin减小而先增大后减小。这是因为，在［0，■］区间内存在拐点，当Xmin大于拐点时，g随 Xmin减小而增大，Xmin小于拐点时，g随Xmin减小而减小。同样地，将Xmin点固定，预测固定成本g随着Xmax增大而先增大后减小，原理与前面所述相同，且g-e?叟0。特别地，当Xmax=a，Xmin=0或■时， g-e=0。预测固定成本与实际固定成本相等。

当Xmax，Xmin∈［■，a］时，如图5所示：

当Xmax固定时，预测固定成本g随Xmin减小而增大，Xmin固定时， 预测固定成本g随Xmax增大而减小，且g-e?燮0。

其次，对于变动成本的误差分析而言：

假设，所需预测点为X0=（x0，y0）

那么所预测的变动成本即为高低点法成本预测曲线的斜率，即c，实际所预测点的变动成本为实际成本曲线于此点的导数，

y'（x0）=■

所以，变动成本误差为：

Sv=■=■-1 （11）

在最低点为Xmin=（x1，y1），最高点为Xmax=（x2，y2） ，预测点为X0 的情况下：

实际总成本曲线：yr= -■+e+d

高低点法成本预测曲线：yp=fx+g

总成本预测误差为:

S=■=■

（三）阶梯式固定成本 当产量达到一定限度时，固定成本会发生跳跃式增长并在一定限度内保持不变，当产量继续增加到另一高度时，固定成本又会产生一个新的跳跃。因此，当变动成本呈对数增长，固定成本呈阶梯式增长时，假设：阶梯高度为b，长度为c，也就是说每当产量增加c个单位时，固定成本增加b，起始固定成本为b。

如图6所示。假设，当Xmin处于Phase 1，Xmax处于Phase 3时，Xmin对应的固定成本为b，Xmax对应的固定成本为3b， 高低点法中将固定成本差额减去，在这里也就是将Xmax向下平移2b个单位至Xmax'点。此法可以消除由于阶梯固定成本所带来的差额，从而使Xmin和Xmax两点处于同一固定成本下的总成本曲线中，而实际固定成本则取决于与所预测时间段相对应的固定成本。

参考文献：

［1］岳贤平、于振英：《微观经济学》，清华大学出版社2007年版。