浅谈数学思想在解题中的运用

摘要：中学数学的内容是由具体的数学知识和系统的数学思想方法组成的有机整体。在中学数学的教学中，对学生数学思想的培养与锻炼是一个重要的方面，它贯穿于整个数学教学的始终，对于学生数学素质的提高以及数学能力的培养具有十分重要的作用。

关键词：数学思想 解题方法 运用

所谓的数学思想是指人们对于数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动，是解决数学问题的灵魂。数学思想的范围较为广泛，同一种数学思想可以应用于不同的教学阶段，因此在中学数学教学中注重数学思想的渗透与挖掘具有十分重要的意义。本文以数学教学中常用的几种数学思想为基础，并结合相应的例题分析如何运用数学思想方法解决数学问题。

一、函数与方程思想

函数思想，是指变量与变量之间的一种对应关系思想，或者说是一个集合到另一个集合的一种映射思想。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还可以通过实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

点评：利用方程的根与相应函数零点的联系，把方程问题转化成函数问题求解，这正是函数与方程思想的具体体现，应该牢固掌握并加以灵活运用。本题充分利用了函数与方程的思想去求解，这样既提高了知识运用的灵活性，又体现了数学思想在解题过程中所发挥的巨大作用。

二、化归思想

化归思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的基本解题模式。如学习方程和方程组时，通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”、“高次”转化为“低次”方程进行求解；将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用，其核心就是将待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理。

点评：有的同学看见这个题可能感觉到无从下手，平时我们接触最多的是处理二次方程根的问题，而这里出现的却是三次方程，于是我们可以考虑是否可以将问题转化为一些我们熟悉的问题。由证明的过程可知，我们将寻求方程根的问题转化成了寻求函数单调区间，再根据函数在区间端点处的值的具体情况来确定方程的根的情况。这样就使得问题的处理变得简单和明朗了许多。

三、分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同类的思想方法。分类是以比较为基础，它能揭示数学对象之间的规律，所以分类是近代和现代数学中一种重要的思想方法。分类讨论是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，用分类讨论解决问题，关键是要选定好标准、角度，最后还要注意归纳、总结，这样才能做到分析问题不重复，不遗漏。

点评：本题主要考察了如何利用三角形的边角关系和余弦定理来判断三角形的形状，就题目本身而言，该题较低了考察的难度，本题也可以将问题“试分别就下列三种情况讨论ABC的形状”改为“试讨论ABC的形状”，而将p和m在不同范围内的比值这个条件去掉，让学生自己去探索当p和m的比值在什么范围内时对应的三角形的形状。

四、数形结合思想

数学最本质的东西是抽象的，然而数学教学要把抽象的东西形象化、符号化、量化，又要通过直观的形象来深化抽象的内容，这种使抽象的问题形象化正是数学教学的真谛。在教学过程中渗透数形结合思想，就是要培养思维的逻辑性和创造性。在学习实数时，我们知道把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可用数轴上的一个点来表示。反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。这就是数与形的良好结合，抽象问题与具体符号的相互转化。

点评：圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，这部分知识就是介绍如何用代数的方法解决几何问题，可以说每个题目都蕴含着数形结合的思想，因此在处理与圆锥曲线有关的问题时，我们首先要根据题意画出草图，利用图像的直观性来简化问题，同时还要熟练掌握各种圆锥曲线的性质和与圆锥曲线有关的一些重要结论，这些知识对于我们解题有时会起到事半功倍的效果。

综上所述，我们看到了数学思想在解题过程中所发挥的重要作用，其实在我们求解问题时也会发现，每一种数学思想本身并不是孤立存在的，有时候当我们解决一个问题时可能会同时运用多种数学思想，这就体现了不同数学思想之间的相互联系。数学思想是数学知识在更高层次上的概括和总结，在平时的教学过程中，我们应该注重数学思想的渗透和探索，对学生加强这发面的锻炼与培养，达到让学生不仅知道，还要会熟练运用的目的。

参考文献：

[1]荣德基.综合应用创新题――典点[M].北京：学苑出版社，2007.

[2]薛金星.中学教材全解――高中数学必修5[M].陕西：陕西人民教育出版社，2010.

[3]王丽波.数形结合在解高考题中的妙用[J].中学数学杂志，2009.

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