浅谈高中数学柯西不等式及应用

摘 要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，结构对称和谐，具有较强的应用性。本文就高中数学方面，给出柯西不等式在证明恒等式、不等式、求最值、解三角与几何，解析几何等方面的一些应用。

关键词：柯西不等式；应用；高中数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）25-137-02

在自然界中，不等量关系是普遍存在的，是最基本的数学关系，也是数学研究的重要内容，不等式在数学研究和数学应用中起着重要作用。柯西不等式是由19世纪数学家（Cauchy）在研究数学分析中的“留数”问题时发现的，柯西不等式出现中学课本中，是中学生解决一系列疑难问题的法宝。为让学生对柯西不等式有更好的认识、了解，本文从特殊到一般的介绍柯西不等式，对柯西不等式的一般形式做证明，再给出柯西不等式在中学数学中的应用的一些典型案例。

柯西不等式――初等中学的形式

一、二维形式的柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式

若 都是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立。

2、柯西不等式的向量形式

设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量时，或存在实数 ，使 时，等号成立。

3、一般形式的柯西不等式

设 都是实数，则 ――（1）

当且仅当 或存在实数 ，使得 时，等号成立。

二、柯西不等式的应用

1、利用用柯西不等式证明恒等式

用柯西不等式取等号的条件或者两边夹逼的方法证明某些恒等式。

例1、已知 ，求证： 。

证明：由柯西不等式

当且仅当 时，等号成立。即 ，得 。

2、利用柯西不等式证明一些不等式

观察欲证不等式的特征，结合已知条件，对照柯西不等式的标准形式，构造柯西不等式的两组数，用柯西不等式来证明不等式，往往可以使复杂问题简单化。

例2、已知 ，且 ，求证

证明：因为

，

利用柯西不等式证明时，关键是构造出柯西不等式的两个适当数组，常用的技巧是“1”和常数的变化转化，体现转化化归思想。

3、利用柯西不等式求某些函数的最值

例3、已知 ，求 的最小值。

解：

由柯西不等式： ，所以 ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 。

例4、求函数 ， 的最大值。

解：因为 ，所以 。由柯西不等式得：

，当且仅当 时，取等号。

4、利用柯西不等式解某些方程

不等式中的等号成立的时候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等号的充分必要条件解方程。

求方程 的解。

解：方程可变形为： ，当且仅当 时，取等号，解得 。

5、柯西不等式在解析几何方面的应用

例6、直线 与椭圆 相切，求切点坐标 。

解：因为 所以，由柯西不等式得：

。

当且仅当 即 ，代入 ，解得 ，所以 。

6、利用柯西不等式解三角和几何问题

例7、在半径为 的圆内，求周长最大的内接长方形。

解析：假设出变量表示长方形的周长，得出目标函数，在利用柯西不等式求解。

解：设内接长方形 的长 、宽为 ，于是长方形 的周长 ，由柯西不等式得：

。当且仅当 ，即 时，取等号。此时宽为 即内接长方形 为正方形时，周长最大为 。

7、利用柯西不等式求参数的取值范围

例8、已知正数 满足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范围。

解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范围。

解：因为

，所以 的取值范围 。

柯西不等式在中学阶段，虽然只是选讲内容，但在高考中经常出现，引起了教师教学的重视。柯西不等式不仅应用于证明代数不等式，它在实数大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用。

运用柯西不等式的过程中，要求我们要以敏锐的思维，细致的观察，构造出适合柯西不等式的两组数，以便可以使用柯西不等式。这是学生拓宽知识，打开思维的钥匙，是解决一系列问题的法宝。

参考文献：

[1] 刘绍学.高中数学选修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.

[2] 薛金星.中学教材全解数学选修4―5.西安：陕西人民教育出版社.2010.4.

[3] 柯西不等式的证明与应用.百度文库，2013.7.