高考数学复习单元过关试题(中)

一、选择题

1.若a

（A）11a-b>11b（B）a2

（C）|b|1|a|bn

2.若x∈（e -1，1），a=ln x，b=（112）ln x，c=e ln x，则a，b，c的大小关系为（）.

（A）c>b>a（B）b>c>a

（C）a>b>c（D）b>a>c

3.已知x，y满足不等式组x+2y≤8，

2x+y≤8，

x≥0，

y≥0，则目标函数z=3x+y的最大值为（）.

（A）3213（B）12

（C）8（D）24

4.已知点（x，y）在ABC所包围的阴影区域内（包含边界），若B（3，512）是使得z=ax-y取得最大值的最优解，则实数a的取值范围为（）.

（A）a≥-112（B）a≥0

（C）a≤-112（D）-112≤a≤0

5.若两个正实数x，y满足21x+11y=1，并且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）.

（A）（-∞，-2）∪[4，+∞）

（B）（-∞，-4）∪[2，+∞）

（C）（-2，4）

（D）（-4，2）

6.已知实数x，y满足约束条件x+y≥1，

x-y≥-1，

2x-y≤2，若函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为7，则31a+41b的最小值为（）.

（A）7（B）2417

（C）3717（D）18

7.（理）已知函数f（x）=x（1+a|x|）.设关于x的不等式f（x+a）

（A）（1-1512，0）

（B）（1-1312，0）

（C）（1-1512，0）∪（0，1+1312）

（D）（-∞，1-1512）

（文）设函数f（x）=e x+x-2，g（x）=ln x+x2-3.若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）.

（A）g（a）

（B）f（b）

（C）0

（D）f（b）

8.（理）设a=∫2111xdx，b=∫3111xdx，c=∫5111xdx，则下列关系式成立的是（）.

（A）a12

（C）c15

（文）在R上定义运算：xy=x（1-y）.若对任意x>2，不等式（x-a）x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）.

（A）[-1，7]

（B）（-∞，3]

（C）（-∞，7]

（D）（-∞，-1]∪[7，+∞）

9.已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0，

ln （x+1），x>0.若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）.

（A）（-∞，0]（B）（-∞，1]

（C）[-2，1]（D）（-2，0]

10.已知x∈（0，π12），且函数f（x）=1+2sin2x1sin 2x的最小值为b，若函数g（x）=-1（π14

8x2-6bx+4（0

（A）（π14，π12）（B）（π14，1312]

（C）[1314，1312]（D）[1314，π12）

11.已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+f（x）1x>0，若a=112f（112），b=-2f（-2），c=ln 112f（ln 2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）.

（A）a>b>c（B）a>c>b

（C）c>b>a（D）b>a>c

12.已知函数f（x）=113x3+112ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（-1，1），x2∈（2，4），则a+2b的取值范围是（）.

（A）（-11，-3）（B）（-6，-4）

（C）（-11，3）（D）（-16，-8）

二、填空题

13.已知不等式|x+2|>1的解集与不等式x2+ax+b>0的解集相等，则a+b的值为.

14.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）

15.若实数x，y满足112≤x≤1，

y≥-x+1，

y≤x+1，则y+11x的取值范围是.

16.已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1），点N（x，y）的坐标x，y满足不等式组x+2y-3≤0，

x+3y-3≥0，

y≤1，则OM・ON的取值范围是.

17.某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p+q12%，若p>q>0，则提价多的方案是.

18.函数y=loga（x+3）-1（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn>0，则11m+11n的最小值为.

19.已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是.

20.已知函数f（x）=x3-ax2+bx+3（a，b∈R），若函数f（x）在[0，1]上单调递减，则a2+b2的最小值为.

三、解答题

21.已知函数f（x）=x2+2x+a.

（Ⅰ）当a=112时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围.

22.已知函数f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且方向向量v=（1，-1），若不等式f（x）≥x2+x-5的解集为A，且A（-8，a].

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）解不等式x2-（a+3）x+2a+31f（x）

23.设f（x）=ln x+1x-1，证明：

（Ⅰ）当x>1时，f（x）

（Ⅱ）当1

24.已知实数组成的数组（x1，x2，x3，…，xn）满足条件：

①∑n1i=1xi=0；②∑n1i=1|xi|=1.

（Ⅰ）当n=2时，求x1，x2的值；

（Ⅱ）当n=3时，求证：|3x1+2x2+x3|≤1；

（Ⅲ）设a1≥a2≥a3≥…≥an，且a1>an（n≥2），

求证：|∑n1i=1aixi|≤112（a1-an）.

25.已知函数f（x）=aln x+11e x在x=1处的切线方程为y=11e .

（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x>0，x・f′（x）-1

26.已知函数f（x）=112x2-113ax3（a>0），函数g（x）=f（x）+e x（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x）.

（Ⅰ）求函数f（x）的极值.

（Ⅱ）若a=e ，

（1）求函数g（x）的单调区间；

（2）求证：x>0时，不等式

g′（x）≥1+ln x恒成立.

27.已知函数f（x）=aln x+1（a>0）.

（Ⅰ）当x>0时，求证：f（x）-1≥a（1-11x）；

（Ⅱ）在区间（1，e ）上f（x）>x恒成立，求实数a的范围；

（Ⅲ）当a=112时，求证：f（2）+f（3）+…+f（n+1）>2（n+1-1n+1）（n∈N*）.

28.函数f（x）=ln x-ax2（a∈R）.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=118时，证明：

存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（1）；

（Ⅲ）当a=114时，证明：

f（1）≤1214・1x4+1-314.

29.已知函数f（x）=ax2+2x1x+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是514.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设g（x）=11x+mf（x-1）（m

参考答案

1.C.用特殊值验证法.不妨令a=-2，b=-1满足a

2.B.x∈（e -1，1），a=ln x∈（-1，0），b=（112）ln x∈（1，2），c=e ln x=x∈（11e ，1）.

b>c>a.选B.

3.B.由目标函数的几何意义知，z=3x+y在可行域的顶点（4，0）处取得最大值.

zmax=3×4=12.选B.

4.A.由题图可知，kAB=-112，kBC不存在，要使B（3，512）是目标函数取得最大值的最优解，则需a≥-112.选A.

5.D.x+2y=（x+2y）（21x+11y）=2+4y1x+x1y+2≥8，当且仅当4y1x=x1y，即4y2=x2时等号成立.x+2y>m2+2m恒成立，则m2+2m

解之，得-4

6.A.依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax+by=0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（3，4）时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z=ax+by取得最大值；zmax=3a+4b=7.

31a+41b=117（31a+41b）（3a+4b）=117[25+12（b1a+a1b）]≥117（25+12×21b1a×a1b）=7，当且仅当b1a=a1b，即a=b=1时取等号，因此31a+41b的最小值是7，选A.

7.（理）A.由题意知，0∈A，且f（a）

-112a-a12>112，即a2-a-1

a2+a+1>0.解之，得1-1512

又-1

（文）A.函数f（x）=e x+x-2在R上单调递增，且f（0）=1-20，f（a）=0时，a∈（0，1）.又g（x）=ln x+x2-3在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=-2

由g（2）=ln 2+1>0，g（b）=0，得b∈（1，2）.又f（1）=e -1>0，且f（x）=e x+x-2在R上单调递增，f（b）>0.

综上可知，g（a）

8.（理）C.由题意，得a=ln 2，b=ln 3，c=ln 5.3a=ln 8，2b=ln 9，即3a

（文）C.由题意得（x-a）x=（x-a）（1-x），故不等式（x-a）x≤a+2可化为（x-a）（1-x）≤a+2，化简得x2-（a+1）x+2a+2≥0，故原题等价于x2-（a+1）x+2a+2≥0在（2，+∞）上恒成立，由二次函数f（x）=x2-（a+1）x+2a+2的图象知其对称轴为x=a+112.讨论得a+112≤2，

f（2）≥0，或a+112>2，

f（a+112）≥0.解之，得a≤3或3

9.D.当x≤0时，f（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1≤0，|f（x）|≥ax化为x2-2x≥ax，即x2≥（a+2）x.x≤0，a+2≥x恒成立，a≥-2.当x>0时，f（x）=ln （x+1）>0.|f（x）|≥ax化为ln （x+1）≥ax恒成立，则a≤0.a∈[-2，0].选D.

10.D.依题意，当x∈（0，π12）时，f（x）=3sin2x+cos 2x12sinxcos x=112（3tan x+11tan x）≥13tan x・11tan x=13，当且仅当3tan x=11tan x，即tan x=1313，x=π16时取等号，因此b=13，不等式g（x）≤1等价于①π14

8x2-613x+4≤1，解②得1314≤x≤π14，因此不等式g（x）≤1的解集是{x|1314≤x≤π14}∪{x|π14

11.D.由f′（x）+f（x）1x=xf′（x）+f（x）1x=[xf（x）]′1x>0，得函数F（x）=xf（x）在区间（0，+∞）上是增函数，又f（x）是R上的奇函数，所以F（x）在R上是偶函数，所以b=F（-2）=F（2）>a=F（112）>0，c=-F（ln 2）

12.C.f′（x）=x2+ax+b，由题意知，f′（-1）=（-1）2+a（-1）+b=1-a+b>0，

f′（1）=1+a+b

f′（2）=22+a×2+b=4+2a+b

f′（4）=42+a×4+b=16+4a+b>0.

画出不等式组构成的平面区域如图中的阴影部分所示（不含边界）.

四边形的四个顶点分别为A（-3，-4），B（-1，-2），C（-3，2），D（-5，4）.

当a=-5，b=4时，z=a+2b=3；当a=-3，b=-4时，z=a+2b=-11.结合图象可知，z=a+2b的取值范围是（-11，3）.

13.-1.不等式|x-2|>1的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），且与不等式x2+ax+b>0的解集相等，1，3是方程x2+ax+b=0的两个根，1+3=-a，

1×3=b，a=-4，

b=3.

a+b=-1.

14.（-7，3）.当x≥0时，f（x）=x2-4x

15.[1，5].由题意可知，y+11x=y-（-1）1x-0，即为求不等式组所表示的平面区域内的点（x，y）与点（0，-1）连线的斜率k的取值范围，由图可知，k∈[1，5].

16.[1，6].由题意，得OM・ON=2x+y，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点时，注意观察相应直线在y轴上的截距情况，结合图形不难得知，相应直线在y轴上的截距的取值范围是[1，6]，即OM・ON的取值范围是[1，6].

17.乙.设原价为a，则方案甲提价后为a（1+p%）（1+q%），方案乙提价后为a（1+p+q12%）2.由于（1+p%）（1+q%）

18.3+21212.注意到当x=-2时，y=log a（-2+3）-1=-1，即定点A的坐标为（-2，-1），于是有-2m-n+2=0，即m+n12=1，11m+11n=（11m+11n）（m+n12）=312+n12m+m1n≥312+21n12m×m1n=3+21212，当且仅当n12m=m1n，即n=12m=2（12-1）时取等号，因此11m+11n的最小值是3+21212.

19.a≥-1.依题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax2+2y2，即a≥xy-2y21x2=y1x-2・（y1x）2=-2（y1x-114）2+118.在坐标平面内画出不等式组1≤x≤2，

2≤y≤3表示的平面区域，注意到y1x可视为该区域内的点（x，y）与原点连线的斜率，结合图形可知，y1x的取值范围是[1，3]，此时-2（y1x-114）2+118的最大值是-1，因此满足题意的实数a的取值范围是a≥-1.

（Ⅱ）不等式可化为：

1-xln x

由k（x）=1-xln x，得k′（x）=-1-ln x.

k′（x）>0，得0

k′（x）11e ，

k（x）在（0，11e ）上为增函数，在（11e ，+∞）上为减函数，

k（x）≤k（11e ）=1+11e .

x>0，e x>1，

1-xln x

对任意x>0，x・f′（x）-1

26.解：（Ⅰ）f′（x）=x-ax2

=-ax（x-11a），

当f′（x）=0时，x=0或x=11a.

又a>0，

当x∈（-∞，0）时，f′（x）

当x∈（0，11a）时，f′（x）>0；

当x∈（11a，+∞）时，f′（x）

f（x）的极小值为f（0）=0，f（x）的极大值为f（11a）=116a2.

（Ⅱ）a=e ，

g（x）=112x2-113e x3+e x（x-1），

g′（x）=x（e x-e x+1）.

（1）记h（x）=e x-e x+1，

则h′（x）=e x-e .

当x∈（-∞，1）时，h′（x）0，h（x）是增函数，

h（x）≥h（1）=1>0.

在（0，+∞）上，g′（x）>0；在（-∞，0）上，g′（x）

故函数g（x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，0）.

（2）当x>0时，g′（x）=x（e x-e x+1）

≥1+ln xe x-e x+1≥1+ln x1x，

由（1）知，h（x）=e x-e x+1≥1.

记φ（x）=1+ln x-x（x>0），

则φ′（x）=1-x1x.

在区间（0，1）上，φ′（x）>0，φ（x）是增函数；在区间（1，+∞）上，φ′（x）

φ（x）≤φ（1）=0，即1+ln x-x≤0，

1+ln x1x≤1.

e x-e x+1≥1≥1+ln x1x，

即g′（x）≥1+ln x恒成立.

27.解：（Ⅰ）设φ（x）=f（x）-1-a（1-11x）=aln x-a（1-11x）（x>0），

则φ′（x）=a1x-a1x2，令φ′（x）=0，则x=1，易知φ（x）在x=1处取到最小值，故φ（x）≥φ（1）=0，即f（x）-1≥a（1-11x）.

（Ⅱ）由f（x）>x，得aln x+1>x，

即a>x-11ln x.

令g（x）=x-11ln x（1

则g′（x）=ln x-x-11x1（ln x）2.

令h（x）=ln x-x-11x（1h（1）=0.

因为h（x）>0，所以g′（x）>0，即g（x）在定义域上单调递增，

则g（x）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ln x≥1-11x，

则ln 1n≥1-111n.

f（2）+f（3）+…+f（n+1）=112[ln 2+ln 3+…+ln （n+1）]+n=ln 12+ln 13+…+ln 1n+1+n≥1-1112+1-1113+…+1-111n+1+n=2n-2（11212+11213+…+1121n+1）>2n-2（111+12+1112+13+…+111n+1n+1）=2（n+1-1n+1），

即f（2）+f（3）+…+f（n+1）>2（n+1-1n+1）.

28.解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-ax2的定义域为（0，+∞）.

f′（x）=11x-2ax=-2ax2+11x，

（1）当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）=ln x-ax2的单调递增区间为（0，+∞）；

（2）当a>0时，若f′（x）>0，有0

函数f（x）=ln x-ax2的单调递减区间为（12a12a，+∞），单调递增区间为（0，12a12a）.

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为（12a12a，+∞），单调递增区间为（0，12a12a）.

（Ⅱ）当a=118时，f′（x）=-x2+414x.

当x∈（0，2）时函数f（x）是增函数，当x∈（2，+∞）时函数f（x）是减函数，

函数f（x）的最大值为f（2）=ln 2-112.

f（1）=-118，

在（2，+∞）上取x=e 4，计算得f（e 4）=4-e 818

f（e 4）

x∈（0，2）时函数f（x）是增函数，x∈（2，+∞）时函数f（x）是减函数，

存在x0∈（2，e 4），使f（x0）=f（1），

存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（1）.

（Ⅲ）x4+1≥2x2，

1214・1x4+1≥1214・12x，

1214・1x4+1≥x12.

令g（x）=f（x）-（x12-314）

=ln x-114x2-112x+314，

g′（x）=11x-112x-112=-x2-x+212x.

当x∈（0，1）时，g′（x）>0，函数g（x）是增函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x）

g（x）≤g（1）=0.

ln x-114x2-112x+314≤0，

ln x-114x2≤112x-314.

f（x）≤1214・1x4+1-314.

29.解：（Ⅰ）由f（x）=ln x+11e x，得f′（x）=e x1x-e xln x-e x1（e x）2=11x-ln x-11e x.令h（x）=11x-ln x-1，则h′（x）=-11x2-11x.

又x>0，h′（x）

h（x）为减函数.又h（1）=0，

当x∈（0，1）时，h（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h（x）

当x∈（0，1）时，f′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）

f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=11x-ln x-11e x.

要证明f′（x）

只需证11x-ln x-11e x

x>0，11x-ln x-11e x

等价于1-xln x-x1xe x

等价于1-xln x-x

令g（x）=1-xln x-x，则g′（x）=-ln x-2=-（ln x-ln e -2）（x>0），

因此，当x∈（0，e -2）时，g′（x）>0，g（x）为增函数，

当x∈（e -2，+∞）时，g′（x）

则g（x）的最大值为g（e -2）=1-e -2.

令φ（x）=e x1x+1，

则φ′（x）=e x（x+1）-e x1（x+1）2=xe x1（x+1）2.

x>0，φ′（x）>0，φ（x）为增函数，

φ（x）>φ（0）=1，即e x1x+1>1，

1-xln x-x≤1+e -2

f′（x）

七、数列部分

一、选择题

1.在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数），前n项和为Sn=3n+k，则实数k为（）.

（A）-1（B）0

（C）1（D）2

2.设数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则S41a3的值为（）.

（A）1514（B）1512

（C）714（D）712

3.已知{an}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9=（）.

（A）10（B）20

（C）60（D）100

4.已知数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7=2π，则tan （a3+a5）的值为（）.

（A）3（B）-3

（C）313（D）-313

5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2-Sk=36，则k的值为（）.

（A）8（B）7

（C）6（D）5

6.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an-1anan+1=324，则n=（）.

（A）11（B）12

（C）14（D）16

7.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2・a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为514，则S5=（）.

（A）35（B）33

（C）31（D）29

8.把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的116是较小的两份之和，则最小的一份为（）.

（A）2（B）8

（C）14（D）20

9.已知数列{an}满足a1=1，an+1・an=2n（n∈N*），Sn是数列{an}的前n项和，则S2014=（）.

（A）22014-1（B）3×21007-3

（C）3×21007-1（D）3×21006-2

10.数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为（）.

（A）3690（B）3660

（C）1845（D）1830

11.已知数列an：111，211，112，311，212，113，411，312，213，114，…，依它的前10项的规律，则a99+a100的值为（）.

（A）37124（B）716

（C）11115（D）7115

12.正项等比数列{an}中，存在两项am，an（m，n∈N*）使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，则11m+51n的最小值为（）.

（A）714（B）1+513

（C）2516（D）21513

13.已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数f（x）=ln x-x，当x=b时取得极大值c，则ad=（）.

（A）1（B）0

（C）-1（D）2

14.已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，

ax-6，x>7.若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）.

（A）[914，3）（B）（914，3）

（C）（2，3）（D）（1，3）

二、填空题

15.等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=2a1，则S41a4的值是.

16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a4+a5=12，则S7的值为.

17.等差数列{an}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=.

18.已知数列{an}满足anan+1an+2an+3=24，且a1=1，a2=2，a3=3，则a1+a2+a3+…+a2014=.

19.数列{an}满足：a1+3a2+5a4+…+（2n-1）・an=（n-1）・3n+1+3（n∈N*），则数列{an}的通项公式为an=.

20.设数列{an}的通项公式为an=2n-10（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=.

21.在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列{11an}的前n项和为Sn，若S2n+1-Sn≤m115对任意n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为.

22.已知f（x）=111+x，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an）.若a2012=a2014，则a20+a11=.

23.（理）已知an=∫n0（2x+1）dx，数列{11an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n-8，则bnSn的最小值为.

（文）已知数列{an}中，an=2+4+6+…+2n，若数列{11an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n-8，则bnSn的最小值为.

三、解答题

24.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=213，且S2+112a2=1.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记bn=log 3a2n14，求数列{11bn・bn+2}的前n项和Tn.

25.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=312（an-1），数列{bn}满足bn=114bn-1-314（n≥2），且b1=3.

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=an・log2（bn+1），其前n项和为Tn，求Tn.

26.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+（-1）n（n∈N*）.

（Ⅰ）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

（Ⅱ）求证：数列{an+213（-1）n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.

27.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=112，且满足2Sn+1=4Sn+1（n∈N*）.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=-3+log2an（n∈N*），求数列{|bn|}的前n项和Tn.

28.已知等差数列{an}，公差d>0，前n项和为Sn，且满足a2a3=45，a1+a4=14.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

（Ⅱ）设bn=Sn1n+c，若{bn}也是等差数列，试确定非零常数c，并求数列{11bn・bn+1}的前n项和Tn.

29.在等差数列{an}中，a2=4，其前n项和Sn满足Sn=n2+λn（λ∈R）.

（Ⅰ）求实数λ的值，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{11Sn+bn}是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.

30.（理）已知首项为312的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设Tn=Sn-11Sn（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值和最小项的值.

（文）已知首项为312的等比数列{an}的前n项和Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明Sn+11Sn≤13116（n∈N*）.

31.（理）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N*.

（Ⅰ）求a2的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an

（文）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=a2n+1-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a4构成等比数列.

（Ⅰ）证明：a2=4a1+5；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有11a1a2+11a2a3+…+11anan+1

32.已知函数f（x）=ln （1+x）-ax11-x（a∈R）.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若数列{am}的通项公式为am=（1+112013×2m+1）2013（m∈N*），

求证：a1・a2・…・am

参考答案

1.A.数列{an}是等比数列，a1=3+k，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18，则62=18（3+k）.解之，得k=-1.选A.

2.A.Sn=2n-1，

S41a3=S41S3-S2=24-1123-22=1514.选A.

3.D.{an}为等比数列，

a1a7=a24，a3a9=a26，a3a7=a4a6，

a1a7+2a3a7+a3a9=a24+2a4a6+a26

=（a4+a6）2=102=100.选D.

4.A.{an}是等差数列，a1+a7=2a4.

a1+a4+a7=3a4=2π，a4=2π13.

又a3+a5=2a4，a3+a5=4π13.

tan （a3+a5）=tan 4π13=3.选A.

5.A.数列{an}为等差数列，设其公差为d，

2d=a3-a1=4，故d=2.

an=1+（n-1）×2=2n-1.

由Sk+2-Sk=36，得ak+2+ak+1=36.

2（k+2）-1+2（k+1）-1=36，

k=8.选A.

6.C.设等比数列{an}的公比为q.

由a1a2a3=a1a1qa1q2=a31q3=4，a4a5a6=a1q3・a1q4・a1q5=a31q12=12，q9=3.

an-1an・an+1=a31q3n-3=324，

q3n-6=81=34=q36.

3n-6=36，n=14.选C.

另解：设bk=an-1anan+1，

bk=4・（1214）k-1=324，

k=5，

a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，a13a14a15，n=14.选C.

7.C.设等比数列{an}的公比为q，依题意得2a1=a2・a3=a1・a4≠0，故a4=2.又a4+2a7=512，所以a7=114，所以q3=a71a4=118，q=112，所以a1=a41q3=16，S5=a1（1-q5）11-q=31.

选C.

8.A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d（d>0），则这五份分别是14-2d，14-d，14，14+d，14+2d.又116（14+14+d+14+2d）=14-2d+14-d.d=6.

故14-2d=2.选A.

9.B.由题意，得an・an+1=2n，

an+1・an+2=2n+2，

an+1・an+21an・an+1=2n+112n=2，即an+21an=2.

数列a1，a3，a5，…，a2k-1，…是以a1=1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2k，…是以a2=2为首项，2为公比的等比数列.

S2014=（a1+a3+a5+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）=1-2100711-2+2（1-21007）11-2

=3・21007-3.选B.

10.D.不妨令a1=1，由题意，得a2=2，a3=a5=a7=…=1，a4=6，a6=10，…，当n为奇数时，an=1，当n为偶数时，构成以a2=2为首项，以4为公差的等差数列.

S60=30+2×30+30（30-1）12×4

=1830.选D.

11.A.通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数111，分子分母之和为2；第二组有两个数211，112，分子分母之和为3；第三组有三个数311，212，113，分子分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个，第9个数，分子分母之和为15，所以a99=718，a100=619，故a99+a100=718+619=37124.

选A.

12.A.a7=a6+2a5，且{an}为等比数列，

a5q2=a5q+2a5，q2-q-2=0，

q=2或q=-1.

an>0，q>0，故q=2.

aman=4a1，即a21qm+n-2=16a21，

m+n=6.

11m+51n=11m+516-m.

令f（m）=11m+516-m，则f′（m）

=-11m2+-5（-1）1（6-m）2=-（6-m）2+5m21m2（6-m）2

=4m2+12m-361m2（6-m）2=4（m+312）2-451m2（6-m）2.

m∈N*，当m=1时，f′（m）0，f（m）在m=1或m=2时取得最小值.

f（1）=2，f（2）=714，

11m+51n的最小值为714.选A.

13.C.实数a，b，c，d成等比数列，

ad=bc.

f（x）=ln x-x，f′（x）=11x-1.

当x=b时，f（x）取得极大值c，

f′（b）=11b-1=0，

f（b）=ln b-b=c.解之，得b=1，

c=-1.

ab=bc=-1.选C.

14.C.an=f（n），n∈N*，由题设条件，得an=（3-a）n-3，（n∈N*，n≤7），an=an-6，（n∈N*，n≥8）.

又{an}是递增数列，

3-a>0，

a>1，

a8>a7a

a>1，

a2+7a-18>0

1

a>2或a

2

15.1518.a2=2a1，q=a21a1=2.

S41a4=a1（1-q4）11-q1a1q3=1-q41q3（1-q）=1518.

16.28.{an}为等差数列，

a3+a5=2a4，a3+a4+a5=3a4=12，

a4=4.

S7=7（a1+a7）12=7×2a412=28.

17.14.依题意得a2+a5=9，

a2a5=18，

由此解得a2=3，

a5=6或a2=6，

a5=3.

①当a2=3，

a5=6时，公差d=a5-a215-2=1，a1=a2-d=2，a6=a5+d=7，a1a6=14；

②当a2=6，

a5=3时，d=a5-a215-2=-1，a1=a2-d=7，a6=a5+d=2，a1a6=14.

综上所述，a1a6=14.

18.5033.由anan+1an+2an+3=24可知，an+1an+2an+3an+4=24，得an+4=an，所以数列{an}是周期为4的数列.再令n=1，求得a4=4，每四个一组可得（a1+a2+a3+a4）+…+（a2009+a2010+a2011+a2012）+a2013+a2014=503×10+1+2=5033.

19.3n.a1+3a2+5a3+…+（2n-3）an-1+（2n-1）an=（n-1）×3n+1+3（n∈N*），

把n换成n-1，得a1+3a2+5a3+…+（2n-3）・an-1=（n-2）・3n+3.

两式相减，得（2n-1）an=（2n-1）・3n，

an=3n.

20.130.由an=2n-10（n∈N*）知，{an}是以-8为首项，2为公差的等差数列.

由2n-10≥0，得n≥5.

当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0.

|a1|+|a2|+…+|a15|=-（a1+a2+a3+a4）+（a5+a6+…+a15）=20+110=130.

21.5.设等差数列的公差为d，

则d=a6-a216-2=21-516-2=4.

an=a2+（n-2）d=5+4（n-2）=4n-3.

记bn=S2n+1-Sn，

则bn=11an+1+11an+2+11an+3+…+11a2n+1，

bn+1-bn=11a2n+2+11a2n+3-11an+1=118n+5+118n+9-114n+1

数列{S2n+1-Sn}是递减数列，数列{S2n+1-Sn}的最大项是

S3-S1=11a2+11a3=115+119.

由S2n+1-Sn≤m115对n∈N*恒成立，得

m115≥115+119，则m≥15（115+119）=1413.

m∈N*，m的最小值为5.

22.1315+3126.an+2=111+an，

a2012=a2014=111+a2012，

a22012+a2012-1=0且an>0.

a2012=5-112.a2012=111+a2010=5-112，

a2010=5-112.

同理a2008=a2006=…=a20=5-112.

又a1=1，a3=112，a5=111+a3=213，a7=111+a5=315，a9=111+a7=518，a11=111+a9=8113.

a20+a11=5-112+8113=1315+3126.

23.（理）-4.an=∫n0（2x+1）dx=n2+n，

11an=11n2+n=11n（n+1）=11n-11n+1.

{11an}的前n项和Sn=1-11n+1.

bnSn=（n-8）（1-11n+1）=n-8-n-81n+1=（n+1）+91n+1-10≥219-10=-4，当且仅当n+1=91n+1，即n=2时，取“=”.

故bnSn的最小值为-4.

（文）-4.an=2+4+6+…+2n

=2（1+2+3+…+n）=n2+n

以下同理科，略.

24.解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由题意得213+213q+112・213q=1，即q=113.

因此an=a1・qn-1=213・（113）n-1=213n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=log3a2n14

=log33-2n=-2n，

所以11bn・bn+2=112n・2（n+2）

=114・11n（n+2）=118（11n-11n+2），

Tn=118（111-113+112-114+…+11n-1-11n+1+11n-11n+2）

=118（1+112-11n+1-11n+2）

=118（312-11n+1-11n+2）.

25.解：（Ⅰ）对于数列{an}有：

Sn=312（an-1），①

Sn-1=312（an-1-1）（n≥2）.②

由①-②得，an=312（an-an-1），

即an=3an-1.

当n=1时，S1=312（a1-1），解得a1=3，

则an=a1・qn-1=3・3n-1=3n.

对于数列{bn}有：bn=114bn-1-314（n≥2），可得bn+1=114bn-1+114，即bn+11bn-1+1=114.

则bn+1=（b1+1）（114）n-1

=4（114）n-1=42-n，

即bn=42-n-1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，cn=an・log 2（bn+1）=3n・log 242-n=3n・log 224-2n=3n（4-2n），

则Tn=2・31+0・32+（-2）・33+…+（4-2n）・3n，③

3Tn=2・32+0・33+…+（6-2n）・3n+（4-2n）・3n+1，④

由③-④，得-2Tn=2・3+（-2）・32+（-2）・33+…+（-2）・3n-（4-2n）・3n+1

=6+（-2）（32+33+…+3n）-（4-2n）・3n+1.

则Tn=-3+9（1-3n-1）11-3+（2-n）・3n+1

=-1512+（512-n）・3n+1.

26.解：（Ⅰ）在Sn=2an+（-1）n（n∈N*）中分别令n=1，2，3得

a1=2a1-1，

a1+a2=2a2+1，

a1+a2+a3=2a3-1，解之，得a1=1，

a2=0，

a3=2.

a1=1，a2=0，a3=2.

（Ⅱ）由Sn=2an+（-1）n（n∈N*）得：

Sn-1=2an-1+（-1）n-1（n≥2），两式相减得：

an=2an-1-2（-1）n（n≥2），

an=2an-1-413（-1）n-213（-1）n

=2an-1+413（-1）n-1-213（-1）n（n≥2），

an+213（-1）n=2[an-1+213（-1）n-1]（n≥2），

数列{an+213（-1）n}是以a1-213=113为首项，公比为2的等比数列.

an+213（-1）n=113×2n-1，

an=113×2n-1-213×（-1）n

=2n-113-213（-1）n.

27.解：（Ⅰ）2Sn+1=4Sn+1（n∈N*），①

当n≥2且n∈N*时，2Sn=4Sn-1+1，②

①-②得an+1=2an，

an+11an=2（n≥2，n∈N*）.

由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，

又a1=112，a2=1，a21a1=2.

数列{an}是以112为首项，2为公比的等比数列.an=2n-2.

（Ⅱ）bn=-3+log 2an=-3+log 22n-2

=n-5，

数列{bn}是首项b1=-4，公差d=1的等差数列.

当n≤5时，bn≤0，当n>5时，bn>0.

从而当n≤5时，有

Tn=|b1|+…+|bn|=-（b1+…+bn）

=n（9-n）12.

当n>5时，有

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|

=-b1-b2-b3-b4-b5+b6+…+bn

=（b1+b2+…+bn）-2（b1+b2+…+b5）

=n（n-9）12+20.

综上所述，

Tn=n（9-n）12，n≤5，

n（n-9）12+20，n>5.

28.（Ⅰ）依题意得a2a3=45，

a1+a4=a2+a3=14，

解得a2=5，

a3=9，或a2=9，

a3=5.（舍去）

an=4n-3，Sn=2n2-n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2n2-n1n+c.{bn}是等差数列，则2b2=b1+b3，即

2・612+c=111+c+1513+c，c=-112.

bn=2n.

则11bn・bn+1=112n・（2n+2）

=114（11n-11n+1），

Tn=11b1b2+11b2b3+…+11bnbn+1

=114（1-11n+1）=n14（n+1）.

29.解：（Ⅰ）a2=S2-S1

=（4+2λ）-（1+λ）=3+λ，

3+λ=4，λ=1.

a1=S1=12+1×1=2，

公差d=a2-a1=2，

an=a1+（n-1）d=2+（n-1）・2=2n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=1，

11Sn+bn=1×2n-1=2n-1，

bn=2n-1-11n（n+1）

=2n-1-（11n-11n+1），

Tn=（1+21+22+…+2n-1）-[（1-112）+（112-113）+…+（11n-11n+1）]

=1-2n11-2-（1-11n+1）=2n-2n+11n+1.

30.（理）解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q.

S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，

S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5，

4a5=a3.于是q2=a51a3=114.

{an}不是递减数列，且a1=312，

q=-112.

an=a1qn-1=312×（-112）n-1=（-1）n-1312n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=1-（-112）n

=1+112n，n为奇数，

1-112n，n为偶数.

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小.

所以1

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以314=S2≤Sn

0>Sn-11Sn≥S2-11S2=314-413=-7112.

综上，对于n∈N*，

总有-7112≤Sn-11Sn≤516.

数列{Tn}的最大项的值为516，最小项的值为-7112.

（文）解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q.

-2S2，S3，4S4成等差数列，

S3+2S2=4S4-S3，

即S4-S3=S2-S4，

由此可得2a4=-a3.q=a41a3=-112.

又a1=312，an=a1qn-1

=312×（-112）n-1=（-1）n-1312n.

（Ⅱ）Sn=1-（-112）n，

Sn+11Sn=1-（-112）n+111-（-112）n=2+112n（2n+1），n为奇数，

2+112n（2n-1），n为偶数.

当n为奇数时，Sn+11Sn随n的增大而减小，所以Sn+11Sn≤S1+11S1=1316.

当n为偶数时，Sn+11Sn随n的增大而减小，所以Sn+11Sn≤S2+11S2=25112.

对于n∈N*，有Sn+11Sn≤1316.

31.（理）解：（Ⅰ）由题意，2S1=a2-113-1-213，

又S1=a1=1，a2=4.

（Ⅱ）当n≥2时，

2Sn=nan+1-113n3-n2-213n，

2Sn-1=（n-1）an-113（n-1）3-（n-1）2-213（n-1），

两式相减，得2an=nan+1-（n-1）an-113（3n2-3n+1）-（2n-1）-213，

整理，得（n+1）an=nan+1-n（n+1），

即an+11n+1-an1n=1.

又a212-a111=1，

数列{an1n}是首项为1，公差也为1的等差数列，an1n=1+（n-1）×1=n，即an=n2.

（Ⅲ）当n=1时，11a1=1

当n=2时，11a1+11a2=1+114=514

当n≥3时，11an=11n2

=1+1122+1132+1142+…+11n2

=1+114+112-11n

对一切正整数n，有

11a1+11a2+…+11an

（文）解：（Ⅰ）an>0，令n=1，有4S1=a22-4-1，

即4a1=a22-4-1，a2=4a1+5.

（Ⅱ）当n≥2时，4Sn=a2n+1-4n-1，

4Sn-1=a2n-4（n-1）-1，

两式相减，得4an=a2n+1-a2n-4，

即a2n+1=（an+2）2，

an+1=an+2.

数列{an}从第2项起，是公差为2的等差数列.

a5=a2+3×2=a2+6，a14=a2+24.

又a2，a5，a14成等比数列，

a25=a2×a14，即（a2+6）2=a2（a2+24）.

解之，得a2=3.

由（Ⅰ）得，a1=1，又an+1=an+2（n≥2），

数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，an=1+（n-1）×2=2n-1.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得11a1a2+11a2a3+…+11anan+1

=111×3+113×5+…+11（2n-1）（2n+1）

=112[（1-113）+（113-115）+…+（112n-1-112n+1）]