霍太林模型的拓展研究

摘要:以霍太林模型为研究基础,从探讨模型的适用条件开始,重点研究了在考虑消费者支出、领先定价、因素影响及分段博弈等情况下的模型竞争态势,通过计算分析,得到了有关价格及利润的竞争关系和相关结论,最后进行了实证研究。为后续的研究提供了一定的理论价值和指导方法。

关键词:霍太林模型;价格;利润;支出

中图分类号:F726文献标志码:A文章编号:1673-291X(2009)15-0200-03

一、霍太林模型的概述

该模型描述的是市场上两个竞争对手提品,消费者从该两个竞争对手当中购买产品,模型同时具有一些基本的假定或要求:(1)提供的产品是同质的;(2)决策变量为价格;(3)成本函数是相同的,c■=c■=c;(4)消费者分布在一条线性的距离为S的市场上,见下图;(5)消费者购买产品的交通成本与离寡头所在位置的距离成比例,单位距离的交通成本为;(6)寡头1的位置为地点A,寡头2的位置为地点B[1]。因此,可知:AC=a是寡头1的固有地盘,BD=b是寡头2的固有地盘,AB是寡头之间竞争的地盘,若寡头1最终争夺的地盘为AE=x,寡头2最终争夺的地盘为EB=y。于是有:S=a+x+y+b;p■+xt=p■+yt。解上面两个方程,得x=■(S-a-b+■),y=■(S-a-b+■)。建立目标函数:寡头1:Maxπ■=(p■-c)(a+x);寡头2:Maxπ■=(p■-c)(b+y);根据最优决策的一阶条件,得到价格反函数,两个反函数联立,可得:p■■=t(S+■)+c、p■■=t(S+■)+c[2]。容易知道,若a=b,则p■■=p■■=tS+c。根据对称性,即当a=b=h时,其竞争均衡的结果是两寡头的价格一致、利润一致,且无论寡头所处的地点如何,即无论h为何值(0?燮h?燮■S),其均衡价格和利润为定值,有π■■=π■■=■tS■。

二、模型的分析拓展

这里所谓的分析拓展其实就是对原模型进行计算、分析和评价,并在此基础上增加一定的元素让它能相对广泛地适用于理论研究和经济实践[3],四个方面:一是增加消费者的支出影响;二是领先定价模型的应用;三是因素影响的价值考虑;四是分步博弈的研究。

1.模型均衡的要求。通过模型的假设可以知道,消费者到寡头的支出是价格与交通费用之和,要保证寡头1左侧及寡头2右侧为各自的地盘,必有p■-p■?燮(S-a-b)t,否则在某寡头地盘的消费者在另一寡头处购买产品的支出更低,则消费者会全部到另一寡头处购买,竞争也就失去意义。于是根据竞争均衡的结果,有p■■-p■■=■a-bt?燮(S-a-b)t,即有a-b?燮■(S-a-b)。当a、b的取值不满足以上条件的时候,比如a=■S、b=■S时,按照以上的竞争模型计算则无解(无均衡解)。而事实上,两个寡头所设置的位置如果确实是这样的情况将不是长期均衡。因为在a-b>■(S-a-b)时,其“均衡价格”明显偏低(与原霍太林模型的结果相比),且其中一个寡头的地盘非常小,因此该寡头具有转移其销售地址到竞争对手另一侧的趋势,并达到新的均衡,使得a-b?燮■(S-a-b)。也就是说,当a-b>■(S-a-b)时,寡头之间的竞争并不能形成均衡的态势,地盘小的寡头必然会移动其地址到竞争对手的另一侧形成新的竞争均衡。

2.考虑消费者支出。霍太林模型中的利润函数其实是隐含这样的假定的,即当竞争价格和竞争地盘一定的情况下其利润是确定的,而与寡头所在位置没有关系;而事实上,这个位置对于该地盘内的消费者而言其支出总和是非常不一致的。于是这里扩充霍太林模型的利润函数为收入减去成本及消费者支出。消费者支出为寡头各自地盘内消费者的交通费用之和。此时的目标函数为:寡头1:Maxπ■=(p■-c)(a+x)-■a■t-t■zdz

=■(p■-c)(S+a-b+■)-■a■t-■(S-a-b+■)■t

寡头2:Maxπ■=■(p■-c)(S-a+b+■)-■b■t-■(S-a-b+■)■t

同时取一阶条件,■=0、■=0,即:p■=■t+■p■+■c;p■=■t+■p■+■c。两式联立,解之得:

p■■=■t+c,p■■=■t+c。不难发现,此时p■■-p■■=■a-bt。同样应满足p■■-p■■=■a-bt?燮(S-a-b)t,即a-b?燮2(S-a-b)。根据对称性,当a=b=h时,竞争均衡价格相等,此时p■■=p■■=■t+c,π■■=π■■=(■S■-h■)t。按此计算,当a=b=h=0时,即两寡头分别位于区间S上的两端位置时,两寡头利润有最大值。π■■=π■■=■S■t这个计算研究也表明,在考虑消费者支出的情况下,寡头位置的选择并不是趋于中间,而是趋向于两端。

3.领先定价模型。根据领先定价模型的基本含义,参照霍太林模型的假定及示意图,同样有目标函数:

寡头1:Maxπ■=(p■-c)(a+x)=(p■-c)[a+■(S-a-b+■)]。

寡头2:Maxπ■=(p■-c)(b+y)=(p■-c)[b+■(S-a-b+■)]。

于是,如果寡头1率先确定价格p■,此时寡头2的最优决策为■=0,即:p■■=■(S-a+b)+■,由于寡头1将预见寡头2将按此价格决策,将p■■代入中π■,此时寡头1的最优决策为■=0,即:p■■=■+c,代入p■■,得p■■=2tS+c。有p■■-p■■=■(S+b-a)t,即后定价格的寡头将获得明显更高的竞争价格。此时π■■=■t(3S+a-b)■、π■■=■tS(S+b-a)。如果a=b=h,则p■■=■+c=■tS+c,有p■■π■■。亦即在领先定价模型中,领先定价者获得较低的价格和更多的利润,而后定价者获得较高的价格和较少的利润,且其利润值与原霍太林模型所获得的一样。

4.因素影响。这里所说的因素影响是指由于两个寡头在品牌、信誉、质量等因素上的差异引起的消费者选择,这里不妨设寡头1的因素表现要比寡头2好,即在同等情况下,消费者愿意到寡头1处给付相对更多的支出,见上图,可建立如下等式:xt+p■=yt+p■+w,w为寡头1的因素价值,或者说消费者愿意多付的支出。因S=a+x+y+b,两式联解,得:x=■(S-a-b+■)、y=■(S-a-b+■)。同样有目标函数:

寡头1:Maxπ■=(p■-c)(a+x)=■(p■-c)(S+a-b+■)。

寡头2:Maxπ■=(p■-c)(b+y)=■(p■-c)(S-a+b+■)。

目标函数在一阶条件下获得最大值,■=0、■=0,即:

p■=■(S+a-b)+■(p■+w+c)、p■=■(S-a+b)+■(p■-w+c),两式联立,解之得:p■■=t(S+■)+■+c,p■■=t(S+■)-■+c。同样,此时应满足p■■-p■■=■(a-b)t+w?燮(S-a-b)t。若a=b,p■■=tS+■+c、p■■=tS-■+c;且有π■■=■(tS+■)■、π■■=■(tS-■)■,不难发现此时因素价值高的寡头1将获得更高的价格和更多的利润。

5.分段博弈。分段博弈考虑的是,当已有一个寡头在区间S上经营时,新进入的寡头应该采取何种价格、在何处才能与原来的寡头形成竞争均衡。当原寡头在中点时,新进入者必然也会将经营地点选择在中点,并采取比原寡头稍微低一点的价格进行销售,从而将所有的消费者都争夺过来,于是原寡头也会采取类似的行为,并形成价格大战,最终使得p■■=p■■=c(如果两家寡头不形成寡头同盟的话);另一方面,如果保证原寡头的价格不变,新进入者也和原寡头一样位于区间中点,则新进入者的价格也和原寡头的价格相等时(p■■=p■■=p■),可以形成竞争均衡,此时双方的利润都比相互压价所获得利润高(π■■=π■■=■(p■-c)S);再者根据霍太林模型的计算,新进入者进入竞争后,经过一定时间的调整,形成同时决策的模型,即可应用霍太林模型,此时的竞争均衡有p■■=p■■=tS+c,π■■=π■■=■tS■。当原寡头在区间中点附近某处时(见上图),那么我们考虑原价格不变的情况下两寡头的竞争均衡,有两种情况:即新进入者分别位于原寡头所在的位置及与原寡头位置相对应(对称)位置上的竞争。

当两寡头都位于A点(a

当两寡头的位置相对称时,有(a=bp■时,应取p■■=p■■=tS+c、π■■=π■■=■tS■;当tS+c?燮p■时,应取p■■=p■■=p■,π■■=π■■=■(p■-c)S。

三、实证研究

已知某一公里长的街道上有两个销售某同一产品的商店,消费者每10米有5个,每10米的交通费用为1元,单位产品的成本为20元,考虑对称性,不妨假定寡头1、2分别位于离两端为300米的距离,寡头1的因素价值为每个产品3元。我们分别计算原霍太林模型、考虑消费者支出、领先定价及因素影响等四种情况下的竞争均衡结果。此时S=1 000、c=20、t=0.1、a=b=300、w=3;分别代入上面的计算公式。可以得到下表:

由表中的计算结果不难发现:第一,由于a=b=h?燮■,所以■t+c?叟■t+c=St+c,(■S■-h■)t?叟(■S■-■S■)t=■S■t,即在考虑消费者支出的情况下,相对原霍太林模型,寡头都将获得更高的价格,而是否能获得更高的利润则要看两寡头的位置,令(■S■-h■)t=■S■t,则h=■。亦即当h>■时,获得利润比原霍太林模型的少;当h=■时,与原霍太林模型获得的利润一致;当h■St+c>St+c,,所以在领先定价模式下,相对于原霍太林模型,竞争寡头都获得更高的价格(后定价格寡头的价格最高),领先定价的寡头同时获得更高的利润,而后定价寡头获得与原霍太林相同的利润。第三,因为tS+c+■>tS+c>tS+c-■,■(tS+■)■>■tS■>■(tS-■)■,所以在考虑影响因素情况下,相对于原霍太林模型,拥有影响因素价值的寡头获得更高的价格和利润,而影响因素价值相对较弱的寡头获得更低的价格和利润。

参考文献:

[1]张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1996.

[2]肖光恩,金田.霍特林模型与空间区位竞争理论的拓展[J].理论月刊,2007,(3).

[3]旷开萃,尤建新.寡头竞争模型的拓展研究[J].华东经济管理,2007,(10).

Research on the Expanded Hotelling Model

KUANG Kai-cui1,YOU Jian-xin2

(1.Dongguan New World Garden Trade Construction Co., Ltd. , Dongguan523129,China;

2.Economics and management school in Tongji university, Shanghai 200092,China)

Abstract: In this article, based on the theory of the Hotelling model, the applying condition of the model was discussed at first, then the competition situations of the model in the following circumstances were researched in depth: consumer payment, frontal making a price, factor influence, subsection game. Through calculation analysis, the competition relationships and some conclusions about price and profit were obtained. At last case study was proposed. Maybe this paper could provide some academic value and instructional methods for latter research.

Key words: Hotelling model; price; profit; payment