从生活经验到数学概念

“比”是人教版实验教科书数学六年级上册中出现的一个重要的数学概念，这个数学定义用词简单：“两数相除又叫做两个数的比。”定义的内涵是“两数相除”。

在实际生产生活中，人们也常用到“比”，生活中所用的“比”一般只涉及第一种外延，即同类量相比的情况。如男女生的人数比、果汁和水的质量比、模型和实物的长度比。再如，黄金比、连比、百分比、比例尺等等都是同类量的比，日常生活生产中几乎没有不同类数量相比的例子。在人们的印象中，“比是同类量相除”的印象非常深刻，这与数学中“比”的概念有出入，不完全一致。

当生活经验和数学概念不一致时，我们在解读教材和教学实践中总存在困惑和质疑。在多次教学探讨中，我发现老师对“比的定义”普遍存在着这些问题。

（1）“神舟五号”的路程和时间的比“42252∶90”不是两个同类量相除，与生活经验不符，那么算一个“比”吗？如果是一个数学比，那么比应该是没有单位，而42252千米除以90分钟的商怎么会有单位名称？比的结果应该是唯一的，而路程除以时间的结果却不是唯一的（42252千米÷90分钟≈469.47千米/分钟，42252÷5400秒≈7.82千米/秒）。怎么解释呢？

（2）生活中比赛的比分3∶0是一个数学比吗？如果是一个比，那么比的后项可以为0，是不是比的定义不够完整？

（3）不同类量相除形成的比，有无数学的意义和价值？

这些对于“比的定义”的疑问，时常困扰着教师，我觉得有必要对“比的定义”进行研读和思考，对这一知识进行学习，解答疑问，帮助教学。

一、研读

1.横向对比——不同版本教材的对比发现

人教版教材是这样定义“比”的，并以国旗的长宽之比和“神五”的路程和速度之比举例说明。那么其他版本的教材中“比”的概念又是怎样定义的呢？于是，我查找了苏教版和北师大版小学数学教材。苏教版数学六年级上册的《认识比》一课指出“两个数的比表示两个数相除”，例题所举的比是：果汁和牛奶的杯数比是2比3；路程和时间的比是900比15。北师大版数学六年级上册的《比的认识》一课指出“两数相除，又叫做两个数的比”，例

题所举的比是：羽毛球比赛输赢场数的比是6比2；马拉松选手所跑的路程和时间的比是40比2；苹果的总价和单价的比是15比3；长方形长和宽的比是6比4。对比这三种教材，我发现对“比”的定义，其内涵都是“两数相除”，其外延都包含了同类数量和不同类数量相除两种情况。

2.权威数学论述的查找发现

三种教材论调一致，那么数学论述上，对“比”到底是怎么定义的呢？我查看了上海科学技术出版社1989年出版的《算术辞典》，其中对比的论述是：“比，最早是同类量相比，比较两个同类量之间的倍数关系，叫做这两个同类量的比，在单位相同时，两个量的比可以用表示这两个量的数的比来代替。在实际中，有同类量相比，也有不是同类量相比的，所以可以说成是‘两个数相除又叫做两个数的比’。”由此可见，不是同类量的两个数相除，也是比的一种形式。

有的文献上明确指出：“比是两个数量的一种对等关系。”根据情境的不同，这种对等关系有四种形式：一是组合关系，两个量都是同一全体量中的部分，如亲子游戏需要2名成人和3名孩子参加；二是母子关系，两个数量为同类量，且一个是全体量，一个是全体量的部分，如一打（12件）衬衫中蓝色的件数是5件；三是交换关系，两个量指两堆物体具有相同的价值，可以交换。如拿12本杂志换得了等价值的5本小说；四是密度关系，两个不同类的量，描述同一种物体的不同性质，比值作为密度，如30立方分米的水重30克。这四种对等关系都可以用数学比来表示。这里提到的第四种就是不同类量相除的形式。

3.纵向对比——对其他数学自然学科概念的影响

除了横向地对不同教材和权威论述的资料研究，我还纵向地研究了“比的定义”对数学中其他概念以及自然学科的部分概念定义的影响。由“比”衍生出来的数学概念还有比例、正反比例等。比例是指表示两个比相等的式子。如人教版实验教科书六年级下册第36页第1题，两个箱子的质量和数量之比30∶2和120∶8，可以组成一个比例30∶2=120∶8，在这里的两个比都是单位不同数量相除的形式。正比例是指两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量。如人教版实验教科书六年级下册第39页，当圆柱的体积和高度之比的比值一定时，它们成正比例关系，这里的圆柱体积和高度的比也是单位不同的数量相除的形式。

在自然学科中，还有类似于比重、压强等概念。某种物质的质量和其体积的比值，即单位体积的质量,叫做这种物质的密度。这里的质量和体积之比，就是不同单位数量相除的形式；物理学中的压强是表示物体单位面积上所受力的大小的物理量，其表现形式是压力（单位：牛顿）和受力面积（平方米）两个量的比值，也是不同类量相除的比。

可见，对于“比的定义”，如果去除了第二种外延，将无法进行其他的数学概念的定义，无法进行其他学科中有些概念的定义了。

二、释疑

综上所述，我认为数学的“比的定义”的外延应包括两部分。即同类量和不同类量的两数相除的形式都是比。

也就是说，“神五”的路程和时间的比“42252∶90”毋庸置疑是一个“比”，那么怎么解释单位名称和结果不唯一呢？我们可以这样理解：42252千米除以90分钟的商是有单位的，那是比值所指的含义，这与是不是“比”并没有直接关系；两个不同的答案是两组不同比的比值，即52252∶90和42252∶5400，结果当然不同，如果要参考其意义，那么严格来说，这两个比值所指的还是相同的，都是飞船的速度，而飞船的速度无论用什么速度单位来表述，其本质是一样的。

我们知道，数学和生活密切相关，但是数学的严密概念与生活的直观经验并不是等同的。数学概念有着它本身的逻辑性和严密性，生活经验更多地受个人的认知、情感的影响，我们应该严格将两种区分开来。把比分3∶0看成数学比的教师，就是将生活经验和数学概念相互混淆了，从“两数相除叫做两个数的比”这个概念出发，3比0根本没有3÷0的含义，也不存在两个比分的倍数关系，所以它不是数学比，仅仅是比分书写的一种形式，这个比分的意义更多的在于比“差”，即看谁比谁高或低多少。

和生活中的“比”相比，不同类量相除的比有什么价值和意义呢？数学上我们常用“比例”解决实际问题，这种方法有其独特的灵活性、简捷性和广泛性，而所用的也是不同类量相除的比，如果规定“比”仅仅只能表示“同类量相除”，那么很多实际问题都不能用比例来解决了，那么“比”就失去了学习研究的意义；不同类量的比在实际生活中很少出现，但是它在数学和其他学科的概念定义上，作用却很大，数学中的“正比例”“反比例”，自然科学中的“比重”“压强”等，都以这类比来定义，如果把“不同类量相除”这一外延剔除，那么很多数学或其他学科中的概念将无法描述了。所以“不同类量的比”其意义和价值不可小觑。

三、思考启发

数学中有许多概念，有的与生活经验完全一致，有的不完全一致，有的甚至相去甚远。我们应该如何认识生活经验和数学概念的不一致呢？

数学来源于生活，但却高于生活，数学概念的定义是以生活为基础抽象概括形成的，具有普遍意义。人们的生活经验虽然也是在生活中形成的，但是不同的个体在对事物的理解、概括上往往存在着一定的多样性或不完整性。所以生活经验不等同于数学概念。再如，“角”的数学定义是：“一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。”角的度数可以大于360°，也可以小于0°。这与人们生活观念：“角的度数不大于180°”不一致。这时候，我们要做的不是对数学中角的定义进行质疑，而是要加深对“角”概念的认识：小学阶段我们不涉及大于180°的角，但随着学习的深入，再来理解和掌握“任意角”的概念。

综上所述，当生活经验和数学概念冲突时，我们不应该对数学概念产生质疑，而应该加深对数学概念的理解，正确区分生活经验和数学概念 。?