巧用轴对称的性质解题

轴对称就是把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴．成轴对称的两个图形具有如下的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．轴对称是现实生活中广泛存在的现象，利用轴对称的性质不但能解决现实生活中的具体问题，而且能探索许多图形的性质.近几年的中考试题对轴对称的考查，除了要求直观地判断一些优美图案的轴对称性，还要求探究、证明几何图形.本文选取几道中考题加以解析，望与同学们共赏.

例1 如图1-1，ABC中，已知∠BAC＝45°，ADBC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

操作与猜想：在ABC中，∠BAC＝45°，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

探究：计算AD的长.

解析：根据操作的步骤，我们可以画出图1-2，将ABD沿AB所在的直线折叠，说明ABD与ABE关于直线AB成轴对称.根据轴对称的性质可知：ABD≌ABE.同理可知：ACD≌ACF.

∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.

又∠BAC＝45°，∠EAF＝90°.

ADBC，

∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，

四边形AEMF是矩形.

AE＝AD，AF＝AD， AE＝AF，

四边形AEMF是正方形.

若设AD＝x，则AE＝EM＝MF＝x.

BD＝2，DC＝3，BE＝2 ，CF＝3，

BM＝x－2，CM＝x－3.

在RtBMC中，

根据勾股定理，得BM2＋CM2＝BC2，

（ x－2）2＋（x－3）2＝52.

化简，得x2－5x－6＝0.

解得x＝6或x＝－1（舍去）.

所以AD的长为6.

点评：本题以“轴对称”为工具，把一个在ABC中难以解决的问题，巧妙地进行转化，借助了正方形的性质和勾股定理构造关于AD的一元二次方程，从而获得问题的答案.可见“轴对称”是多么的“给力”！

例2 如图2-1，RtABC≌RtEDF，∠ACB ＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．将EDF绕着边AB的中点D旋转，使DE，DF分别交线段AC于点M，K．如果MK2＋CK2＝AM2，请求出∠CDF的度数．

解析：观察图2-1，我们发现线段MK、CK、AM在同一条直线上，但它们的关系表达式的结构容易使我们联想到勾股定理，为此我们必须设法借助轴对称的知识将它们（MK、CK、AM）集中到一个三角形中.可以作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD（如图2-2）.

则CD＝GD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK.

D是AB的中点， AD＝CD＝GD．

∠A＝30°，∠CDA＝120°.

∠EDF＝60°，∠GDM＋∠GDK＝60°，∠ADM＋∠CDK＝60°．

∠ADM＝∠GDM.

DM＝DM，ADM≌GDM，GM＝AM．

MK2＋CK2＝AM2， MK2＋GK2＝GM2，

∠MKG＝90°，∠CKG＝90°.

又∠GKF＝∠CKF，∠CKF＝45°.

根据“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”可得，∠CDF＝∠CKF－∠DCK＝45°－30°＝15°.

例3 问题：已知ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1）当∠BAC＝90°时，根据问题中的条件补全图3-1．

观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出∠DAC＝15°时，进一步可推出∠DBC的度数为 ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．

（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

解析：本题给我们提供了一条思考问题的策略，即引导我们先考虑符合条件的问题的某些特殊情形，从特殊情形的探究中得到启发或探索出一般规律，从而获得解决这类问题的方法.

（1）下面我们先来考察当∠BAC＝90°时的情形，根据条件可以画出图3-2图形.

由∠BAC＝2∠ACB，∠BAC＝90°可知，∠ACB＝∠ABC＝45°,所以AB＝AC.欲求∠DBC与∠ABC度数的比值，只要能求出∠DBC的度数，问题便可迎刃而解了.考虑到DC＝DA，我们不妨以线段AC的垂直平分线为对称轴构造BAD的轴对称图形ECD，容易证明四边形ABEC是正方形，从而BDE是等边三角形，所以∠DBE＝60°.又∠EBC＝45°，所以∠CBD＝15°，所以∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.

（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．

如图3-3，仿照（1）的思路，我们以线段AC的垂直平分线为对称轴构造BAD的轴对称图形KCD.连接BK，容易证明四边形ABKC是等腰梯形.由BK∥AC，∠ACB＝∠6．由∠BAC＝2∠ACB，∠KCA＝∠BAC＝2∠ACB， ∠5＝∠ACB．

∠5＝∠6，KC＝KB．

KD＝BD＝KB，即BDK是等边三角形.

∠KBD＝60°．

∠ACB＝∠6＝60°－∠1，

∠BAC＝2∠ACB＝120°－2∠1．

在ABC中，有∠1＋（60°－∠1）＋（120°－2∠1）＋∠2＝180°，

∠2＝2∠1，所以∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.

点评：运用特殊与一般的关系，把一个复杂的、一般的问题变为简单的、特殊的情况，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的常用的思维方法.本题正是从特殊的等腰直角三角形入手，尝试添加辅助线，猜想问题的结论，并将这一解题思路迁移到一般情况而得以解决的.问题（2）受问题（1）的启发，利用轴对称思想构造出等腰梯形ABKC，并发现BDK是等边三角形，借助等边三角形的内角为60°这一特殊值及三角形内角和为180°为等量关系，找到∠2、∠1的关系获得问题的答案的.当然本题也可以以直线BC为对称轴作BAC、BAD的轴对称图形来解决（如图3-4），有兴趣的同学不妨试一试.