如何判定两个直角三角形全等?

判定两个直角三角形全等，除了用判定一般三角形全等的方法“SSS，SAS，ASA，AAS”外，还有一种特殊的判定方法“HL”，因此在判定两直角三角形全等时应根据要证明的结论、题设条件和图形结构，选择合适的判定方法.在实际运用时，由于直角一定对应相等，而第二个条件往往是已知的或容易找到的，故寻找第三个条件就成为解题的关键，这需要一定的方法和技巧.其基本思路如下表：

现略举几例，解析如下，供同学们参考.

一、用SAS判定两直角三角形全等

例1如图1，在ABC中，∠ABC＝45°，ADBC于D，点E在AD上，且CD＝ED.求证：AC＝BE.

分析：要证AC＝BE，即要证以AC、BE为对应边的RtACD≌RtBED.根据题设条件容易得到这两个直角三角形的两条直角边对应相等，故可用SAS进行证明.

证明：∠ABC＝45°，ADBC，

ABD是等腰直角三角形，即AD＝BD， ∠ADC＝∠BDE＝90°.

又CD＝DE，

RtACD≌RtBED（SAS）， AC＝BE.

点评：根据要证明的结论，结合已知条件，寻求合适的判定方法是证明几何题的关键.

二、用ASA判定两直角三角形全等

分析：可延长AB、CD交于点F，通过证明RtABE≌RtCBF，得到AE＝CF.再由RtADC≌RtADF，得到CD＝FD，从而使问题得以解决.

证明：延长AB、CD交于点F.

CBAF，ADCF，

∠FAD＝90°－∠F＝∠BCF.

又AB＝CB，∠ABE＝∠CBF=90°，

RtABE≌RtCBF（ASA）， AE＝CF.

∠CAD＝∠FAD，AD＝AD，

∠ADC＝∠ADF＝90°，

RtADC≌RtADF（ASA），CD＝FD，

点评：延长AB、CD交于点F，构成两组全等直角三角形，是证明此题的关键.

三、用AAS判定两直角三角形全等

例3如图3，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠BEO＝∠CFO.求证：BE＝CF.

分析：要证BE＝CF，只要证以BE、CF为对应边的RtBOE≌RtCOF.根据已知条件能够得到这两个直角三角形的一边和一个锐角对应相等，故可选用AAS或ASA的判定方法进行证明.

证明：四边形ABCD是正方形，

OB＝OC，∠BOE＝∠COF＝90°.

∠BEO＝∠CFO，

RtBOE≌RtCOF（AAS），

BE＝CF.

点评：选用AAS还是ASA，需由对应元素的位置关系决定.

四、用HL判定两直角三角形全等

例4如图4，已知∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，BF＝EC.求证：AB＝DE.

分析：根据∠B＝∠E＝90°，可知ABC和DEF均为直角三角形.已知斜边AC＝DF，所以可使用HL证明两个三角形全等.再根据全等三角形的性质得到对应边AB与DE相等.

证明：由BF＝EC，得BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.

在RtABC和RtDEF中，

AC＝DF，BC＝EF，

所以RtABC≌RtDEF（HL），

所以AB＝DE.

点评：利用HL判定两个直角三角形是否全等，当已知斜边对应相等时，应证明一组直角边对应相等，然后再利用HL证明三角形全等.

判定直角三角形全等的方法多种多样，在运用时要结合图形分析所需的条件，选择合理的判定方法.