一道函数题的三种解法

数学能力的提高归根结底还是解题能力的提高，一题多解并不是目的，目的是通过思想方法的逐一呈现，从最简单易的方式方法入手，不断优化解题思维品质，从而最终达到提升自身解题的能力.

例题 已知函数[f（x）=ax3-3x+1]对于[x∈[-1，1]]总有[f（x）=0]成立，则[a]的取值集合为 .

笔者有意将此题选为本班学生的周测练习，结果做对的同学寥寥无几，大多数人给出的解法如下：

[]方程[f（x）=0]在[x∈[-1，1]]上总成立，

[]函数[f（x）]在[x∈[-1，1]]上必存在零点.

由函数零点存在性定理得[f（-1）f（1）≤0]，

[][a≥4]或[a≤2].

分析 本题参数[a]的取值集合应为[R]，上述范围显然有漏接的情形，造成失误的原因是[f（-1）f（1）≤0]不足以穷尽函数[f（x）]在[[-1，1]]上有零点的所有情况. 例如[f（-1）]与[f（1）]同时取正值，此时若[f（x）]在[[-1，1]]上的极小值为负. 也能说明函数在[[-1，1]]上存在零点，于是本题若要详尽函数[f（x）]在[[-1，1]]上存在零点的情况，则必须研究[f（x）]在[[-1，1]]上的单调性，明确零点存在的数学关系.

解一（分类讨论） 考虑函数[f（x）]解析式中[x3]前含有参数[a]，其正负直接影响的[f（x）]形状，于是从参数[a]的正负分布作为讨论的依据.

（1）若[a

[f（x）]在[[-1，1]]上单调递减.

由[f（0）=1>0，f（1）=a-2

（2）若[a=0]时，[f（x）=-3x+1]，易知[x=13]为方程的解，满足题意.

（3）若[a>0]时，[f（x）=3ax2-3=0?x=±1a.]

[x∈（-∞，-1a）]或[（1a，+∞）]，[f（x）]递增；[x∈（-1a，1a）， f（x）]递减，考虑[x∈[-1，1]].

①当[1a≥1]即[0

由[[-1，1]?（-1a，1a）]知，[f（x）]在[[-1，1]]上递减.

又由[f（0）=1>0，f（1）=a-2

②若[1a1]时，

由[（-1a，1a）?[-1，1]]知，

[x∈（-1，-1a）]或[（1a，1）][f（x）]递增，

[x∈（-1a，1a），f（x）]递减.

而[f（-1）=4-a，][f（-1a）=2a+1>0]，[f（1a）][=1-2a]，[f（1）=a-2]上述四个值中有三个正负值不确定，因此其取值情况成为讨论的标准.

以[f（-1）]的正负作为讨论依据：

若[f（-1）≤0]即[a≥4]时，由[f（-1）≤0，][f（-1a）>0]知，必存在[x0∈[-1，-1a]]使[f（x0）=0]满足题意.

若[f（-1）>0]即[1

综上：[a∈R]，方程[f（x）=0]在[x∈[-1，1]]上总有实根.

点拨 上述解法思路自然，很多人也是这样处理的，但最终都无功而返. 究其原因主要是当参数[a>0]时，区间端点值[f（±1）]与极值[f（1a）]的正负不确定，而再次分类的标准把握混乱，最终导致[f（x）]在[x∈[-1，1]]上的函数性质无法捕捉，不得已而放弃.

既然代数的直面处理如此繁难，本题可否采用几何的方式来处理呢？

解二（数形结合） 由[f（x）=0]在[x∈[-1，1]]上有解可得，[ax3=3x-1]在[x∈[-1，1]]上有解. 记[h（x）=ax3，g（x）=3x-1]，则上述问题等价于[h（x）]与[g（x）]的函数图象在[x∈[-1，1]]上有交点，如图所示：

当[a

当[a=0]时，显然[x=13]为方程的解.

当[0

当[a=4]时，此时[h（x）]图像过点[（-1，-4）]并切于右侧点[（12，12）]处，满足题意（如图三）.

当[a>4]时，交点横坐标在[（-1，0）]内，满足题意（如图四）.

点拨 上述解法化代数的抽象为几何的直观，通过研究参数[a]取值的变化所反映出两函数图象交点的状态，清晰呈现了方程的解即为图象交点的横坐标这一几何形态.

无论是解法一还是解法二始终都绕不开参数[a]对问题后续研究的制约，有没有一种方式可以有效避开参数[a]呢？

解三（等价转化） 由[f（x）=0]得[ax3=3x-1]，若[x=0]时上述方程显然不成立.

当[x≠0]时，[a=3x-1x3=-（1x）3+3（1x）2]，于是问题转化为将[a]视作[x]的函数，即求函数值域的问题.令[t=1x]则[a=-t3+3t2][（t≥1]或[t≤-1）]易求[a]的值域为[R].

点拨 当一个问题的表面看起来很复杂时，能否利用与其对应的等价命题来处理就显得难能可贵了，本题利用方程有解问题等价于视作的函数求值域问题，大大优化了解题过程，值得回味.