平面向量·数量积及其应用

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 已知[a=b=a-2b=1]，则[a+2b=]（ ）

A. 9 B. 3 C. 1 D. 2

2. 若非零向量[a，b]满足[a=b，b?（2a+b）=0]，则向量[a，b]的夹角为（ ）

A. [23π] B. [π6] C. [π3] D. [56π]

3. 在[ΔABC]中，点[P]满足[AP=t（AB+AC）][（t≠0）]，且[BP?AP=CP?AP]，则该[ΔABC]是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直三角形

C. 等边三角形 D. 钝角三角形

4. 设[a，b，c]是单位向量，且[a?b=0]，则[（a-c）?（b-c）]的最小值为（ ）

A. [-2] B. [2-2]

C. [-1] D. [1-2]

5. 已知向量[a，b]是单位正交向量，且[c=5，c?a=3，c?b=4]，则[?t1，t2∈R，c-t1a-t2b]取最小值时，[t1+t2]的值为（ ）

A. 5 B. 7 C. 12 D. 13

6. 已知[P]是边长为2的正[ΔABC]边[BC]上的动点，则[AP?（AB+AC）]的（ ）

A. 最大值为8 B. 是定值6

C. 最小值为2 D. 与[P]的位置有关

7. 称[d（a，b）=a-b]为两个向量[a，b]间的“距离”. 若向量[a，b]满足：①[b=1]；②[a≠b]；③对任意的[t∈R]，恒有[d（a，tb）≥d（a，b）]. 则（ ）

A. [ab] B. [a（a-b）]

C. [b（a-b）] D. [（a+b）（a-b）]

8. 如图，[O]为[ΔABC]的外心，[AB=4，AC=2，][∠BAC]为钝角，[M]是边[BC]的中点，则[AM?AO]的值（ ）

A. [23] B. [12] C. [6] D. [5]

9. 在[OAB]中，[OA=a]，[OB=b]，[OD]是[AB]边上的高，若[AD=λAB]，则实数[λ]等于（ ）

A. [a?（a-b）a-b] B. [a?（b-a）a-b]

C. [a?（a-b）a-b2] D. [a?（b-a）a-b2]

10. 在[ΔABC]中，[∠B=30?]，[AB=33，][BC][=6]，设[D]是[AB]的中点，[O]是[ΔABC]所在平面内一点，且[3OA+2OB+OC=0]，则[OD]的值是（ ）

A. [12] B. 1

C. [3] D. 2

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知边长为[2]的正方形[ABCD]的对角线[BD]上任意取一点[P]，则[BP?（PA+PC）]的取值范围是 .

12. 已知向量[a=（1，2），b=（-3，2）]，则[a?b=] ，若[（ka+b）∥b]，则[k=] .

13. 如图，已知圆[M：（x-3）2+（y-3）2=4]，四边形[ABCD]为圆[M]的内接正方形，[E，F]分别为边[AB，AD]的中点，当正方形[ABCD]绕圆心[M]转动时，[ME?OF]的取值范围是 .

14. 已知[A，B]是定直线[l]同侧的两个定点，且到[l]的距离分别为[a，b]，点[P]是直线[l]上的一个动点，则[PA+3PB]的最小值是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设两个单位向量[a，b]，它们的夹角为[π3]，若向量[2ta+7b]与[a+tb]的夹角为钝角，求实数[t]的取值范围.

16. （10分）已知[ΔABC]的面积为3，且满足0≤[AB]・[AC]≤6，设[AB]和[AC]的夹角为[θ].

（1）求[θ]的取值范围；

（2）求函数[f（θ）=2sin2（π4+θ）-3cos2θ]的最大值与最小值.

17. （12分）已知向量[a=（sin（ωx+φ），2），][b=][（1，cos（ωx+φ）），][ω>0，0

（1）求函数[f（x）]的表达式；

（2）当[-1≤x≤1]时，求函数[f（x）]的单调区间.

18. （12分）已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）]的左右焦点为[F1，F2]，离心率为[e]，直线[l：y=ex+a] 与[x]轴，[y]轴分别交于点[A，B]，[M]是直线[l]与椭圆[C]的一个交点，[P]是点[F1]关于直线[l]的对称点，设[AM=λAB].

（1）证明：[λ=1-e2]；

（2）确定[λ]的值，使[ΔPF1F2]为等腰三角形.