基于合约持有者的展期期权定价公式

中图分类号：F832 文献标识：A 文章编号：1009-4202（2012）07-000-01

摘 要 本文通过对基于合约持有者的展期期权的分析，结合Black-Scholes微分方程，确定初始条件以及相关参数的范围，最终得出准确的定价公式。

关键词 展期期权 定价公式 微分方程

我国对于金融及其衍生品的研究起步较晚，所以现在国内的学者大多还停留在对初级的金融产品（像一般期权期货等）的定价及风险分析的层次上。而对于像展期期权等高级金融衍生品的研究很少，这种期权的定价通常比较复杂，因此我们有必要对其得出一个精确的定价公式。

一、 展期期权概述

在如今的金融业场外交易中，有许多金融合约都在期权中附加了推迟合约到期日的条款。比如2008年深南电与高盛旗下杰瑞公司签订的对赌协议，其本质是两个看跌期权的组合，而在附加条款中就有杰瑞公司具有展期权力的内容，因此其本质就是一个展期看跌期权组合。展期期权可以分为基于合约持有者的展期期权（即合约持有者拥有展期权力）和基于合约出售者的展期期权（即合约出售者拥有展期权力）。本文主要讨论基于合约持有者的展期期权，并推导出其定价公式。

二、 基于合约持有者的展期期权定价公式

本部分先推导出欧式看涨展期期权的定价公式，类似的可以得到欧式看跌展期期权的定价公式。

（一）背景知识

为了应用标准的定价公式，我们有如下假设：

1.市场是理想市场，没有交易费用以及其他约束条件。交易对于时间是连续的。

2.标的物价格 由下列随机方程决定：

（1）

和 是常数， 是标准维纳过程。标的资产在动态过程中不支付红利。

3.瞬时无风险利率 是常数。

根据这些假设，可以得到一般的期权 的Black-Scholes微分方程：

（2）

对于展期期权而言，其期权价格也满足该微分方程，只是需要满足一些特定的初始条件和边界条件。

（二）看涨展期期权定价公式

我们定义看涨展期期权（Extendible Call）价格为 .其中 为展期前的敲定价， 为展期前到期日。 为展期后的敲定价， 为展期后到期日。 为到期日 时看涨期权 的敲定价。

在这个定义下，看涨展期期权的收益函数（也是边界条件）为：

（3）

这就是说，到期日 时的收益为两个收益函数的最大值。这两个风险收益分别为一个普通看涨期权的收益与一个基于看涨期权的看涨期权（复合期权）的收益。由此可见，这个展期期权的收益函数可以看成是基于两份风险资产的期权。

我们对收益函数分析可知，当 时，在时间点 ，关于 有两个关键分割点 ， 。当 时，期权持有人将沽亏价，不会行使展期权；当 时，期权持有人会执行期权，也不会展期。因此，当且仅当， 在区间 内，展期期权持有人会行使展期权。 ， 取决于特定的期权条件，一般来说，我们可以直接从到期条件中获得 ， 的值。比如： 的值可以通过求解如下方程得到：

（4）

易知： ，当 时， 。当 时，期权永远不会展期，因此这个定价就无意义。因此， 是研究重点。该条件的一个充分条件是 ，必要条件是 .同样的： （5）。有 。如果： ，那么 。

在（3）的终值条件下求解微分方程（2）。将（2）通过恒等变换和傅里叶变换，其化为热传导方程。在相应变化下（3）的条件下得到解析解如下：

（6）

， ， ， ，

其中 为概率可积的正态分布在相应地区间内的概率值。第一项为展期前的期权费，剩余部分为展期权的价格。易知展期权是一个关于 ， 的递增函数，关于 ， 的递减函数。

（三）看跌展期期权定价公式

类似的，有收益函数：

（7）

， 满足方程：

（8）

（9）

得到：

（10）

三、 总结

本文通过求解特定终值条件下的随机偏微分方程，得出基于合约持有人的展期期权定价公式，对于我国今后场外交易的合约签订过程将起到借鉴作用。

参考文献：

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