基于期权的报童模型研究

[摘 要] 在经典报童模型基础上，引入期权机制，建立基于期权的报童模型。研究发现，在分散决策型供应链中引入期权机制，可以通过制定合适的价格策略,在供应链的整体利润达到最优的同时增加零售商和供应商的利润，从而实现帕累托最优。

[关键词] 报童模型 期权 供应链 决策模型

经典newsboy model(报童模型)是运筹学中典型的随机规划模型,在不确定需求的时令性商品的销售中,过量订货或不足订货都会产生损失,决策者需要确定商品的最优订购数量,使得利润最大化。由于服务业产品多数具备报童模型中的商品特征,随着服务产业的发展,newsboy model模型成为欧美等发达国家的主要管理学模型。

1950年以来,运筹、运营管理中大量文献研究newsboy model。Khouja总结了newsboy model的研究状况,归纳出了newsboy model的11种扩展研究,并指出了进一步研究的方向。其后的许多关于newsboy model的研究仍然是在这个框架中的。Parlar等在目标函数方面进行了扩展,研究了多目标的newsboy model；在供应链网络结构上进行扩展研究的有: Chung、Weng等研究了两阶段多源供应问题,Shang,Kogan研究了多阶段newsboy model模型；Larivier从渠道协调角度研究了供应链效率的影响因素；Petruzzi ,Erlebacher扩展了经典报童模型中的定价决策。本文试图通过引入期权机制，研究基于期权的报童模型中供应商和零售商的定价策略、订货量和相应的决策模型。

一、基本假设

考虑由一个供应商(制造商)和一个零售商组成的两阶段供应链。零售商面临一个随机的市场需求,产品是时令性的,并且订货周期较长。根据LF博弈(leader-follower game)理论考察供应商和零售商之间的相互作用,供应商是领导者,零售商是追随者,供应商给定一套契约参数,零售商据此确定它的最优产品订货量。同时认为产品市场是开放的,有关产品的市场销售价格、需求分布和库存成本等信息是对称的。所以,作为领导者,供应商能获得所有必需的信息,推断零售商的产品订货量,并据此制定最佳决策。供应商和零售商是风险中性和完全理性,都根据期望利润最大化原则进行决策。

供应商首先产品的批发价格、期权的出售价格和执行价格, 零售商根据供应商的价格政策和市场需求预期,确定其固定订货量和期权购买量,在下一阶段获得更为贴近市场需求的信息后零售商执行期权,供应商必须保证供应零售商所订购的产品量,销售季节过后剩余产品可按处理价处理。

为便于讨论,给出各变量及定义如下:

p:零售商的单位产品在市场的零售价格；

w:供应商出售给零售商的单位产品的批发价格；

c:供应商的单位产品的生产成本；

co:单位产品的期权价格；

ce:单位产品的期权执行价格；

M:零售商的期权购买量；

v:单位剩余产品的处理价；

l:供应商和零售商因缺货而导致的单位损失(如信誉损失、顾客流失等)；

T:协作过程中零售商对供应商的总支付；

F(x):市场需求D的分布函数；

f(x):市场需求D的概率密度函数；

μ:需求D的均值；

F(x)可微、连续递增,且F(0)=0;，且有:

,

当订货量为Q,实际需求x

产品的期望销售量为:

产品的期望库存为:I(Q)=(Q-D)+=Q-S(Q)，

产品的期望缺货为:L(Q)=(D-Q)+=μ-S(Q)。

假定参数间存在以下关系:

v≤c≤w≤p，

co+ce≥w，

co≤w-v，

p+1≥co+ce。

其中第一式假定保证零售价格高于批发价格，批发价格高于生产成本, 而剩余产品的处理价低于生产成本, 从而保证供应商和零售商的有限利润。

第二式假定期权的购买价格和执行价格之和高于批发价格, 从而使零售商采用期权以获得供应弹性的同时激励零售商采取批发价格。

第三式假定在于保证期权机制的有效性，购买期权的价格要低于批发价与处理价之差，激励零售商采用期权契约。

第四式假定在于保证相对于现货市场而言, 期权对零售商而言更具有吸引力。

二、基本的报童模型(Newsboy model)

首先考虑在没有采用期权情况下的报童模型中零售商和供应商的最优决策以及供应链的整体利润。根据经典报童模型,

供应商的期望利润为:∏s=T-cQ；

零售商的期望利润为:∏r=pS(Q)+vI(Q)-lL(Q)-T；

供应链总利润为:∏=∏s+∏r。

1.集中决策型供应链决策模型

在集中决策型供应链中，供应商和零售商犹如一个企业，不存在“双边际效应”，它们均以供应链利润最大化为决策目标。供应链总利润为：

;

令,。QI即为在集中决策型供应链中零售商的最优订货量。

2.分散决策型供应链决策模型

在分散决策型供应链中，由于自私行为的存在，零售商以最大化其自身利润为目标。零售商的期望利润为：

;

。

令,。Qr即为在分散型决策供应链中零售商的最优订货量。因为c≤w，所以，Qr≤QI，表明分散型决策供应链中零售商的最优订货量要低于集中型决策供应链中零售商的最优订货量。

三、基于期权的报童模型(Newsboy model based on option)

1.基于期权的集中决策型供应链决策模型

在报童模型的基础上，首先研究基于期权的集中决策型供应链最优决策。在集中决策型供应链中，供应链总利润为：

;

令，。

显然，Q+M=Q，说明在集中决策型供应链中引入期权机制，零售商的订货量与期权购买量之和达到最优订货量。表明期权机制在集中决策型供应链中没有发挥作用，这与实际情况也是一致的，因为这时供应商与零售商是利益共同体，它们均以供应链总利润最大为目标。如果要发挥作用，只有当货物在供应商与零售商之间库存成本不同时，调整订货量与期权购买量之间的比例。如果供应商的单位库存成本低于零售商，加大期权购买量的比例，反之，加大订货量的比例。

2.基于期权的分散决策型供应链决策模型

在分散决策型供应链中,零售商对供应商的总支付

。

零售商的利润为:

;

;

;

。

令，，,

,

Q*、M*即为零售商在价格政策(w,c0,ce)下的最佳订货量和期权购买量。

供应商的利润为:

。

;

。

令，，，。

供应链的总利润为:

。

;

。

令，，,

要使Q+M=Q*+M*，

，而此时，与也相等。表明在分散型决策供应链中，当期权价格与期权执行价满足这一等式时，理性的零售商选择的订货量和期权购买量可使得零售商、供应商及整个供应链均实现了利润最大化，从而实现帕累托最优。

四、结语

本文将作为金融衍生工具的期权机制引入到供应链的协调过程中, 通过研究发现，在分散决策型供应链中引入期权机制，通过制定合适的期权购买价格和执行价格,可使零售商产生协作的愿望，在供应链的整体利润达到最优的同时增加零售商和供应商的利润，从而实现帕累托最优。这一研究可以为供应链协调机制研究找到一种新的工具。当然本文仅研究了单周期、单供应商和零售商的情况，并且假定市场信息是公开的，然而在实践中,供应链的结构要复杂得多, 因此，可以将基于期权的报童模型研究扩展到供应商和零售商之间是多对一、一对多的情况，甚至是多周期、多产品种类、多层次的供应链网络结构，扩展到信息不对称情形。

参考文献：

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[11]郭 琼 杨德礼 迟国泰:基于期权的供应链契约式协调模型.系统工程，2005；23（10）1～6