谈利用函数单调性求参数范围的解题策略

函数单调性是函数最重要的性质之一，单调性的应用是函数单调性的逆向思维，能够加深对概念和性质的理解，是考查的重点和热点，本文就单调性的应用之一：求字母参数的范围，通过一些例题来阐述已知不同类型函数的单调性求参数范围的处理方法。

一、二次函数

例1：已知函数f（x）=x2+4(1-a)x+1在[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是_______。

解题关键：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。

解：f（x）的对称轴为：x=2(a-1)。

由题意可知：2（a-1）≤1

所以a≤。

变式1：函数f（x）=ax2+4（1-a）x+1在[1,+∞）上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：由于二次项前的系数不确定故先对a是否为零进行讨论，在是一元二次函数的情况下再考虑与开口方向与对称轴。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为 。

综上得：a∈［0，2］。

变式2：f（x）=ax2+4（1-a）x+1在［1，2］上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：在变式1的基础上，结合开口方向与对称轴发现多了开口向下对称轴在区间右侧或右端点处的情形。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为： 。

范围是__________。

解题关键：“先局部”，即确保各个部分均为减函数，“再整体”,即左边函数在1处的函数值大于等于右边函数在1处的函数值。

解：由题意可知：

变式：“在R上单调递增”

解：由题意可知：a无解

三、复合函数

例3：已知f（x）+log （x2-ax+3a）在［2，+∞）上单调递减，则a的取值范围是_________。

解题关键：对于复合函数应利用“同增异减”的法则转化为内层函数g（x）=x2-ax+3a的单调性，同时一定要注意内层函数整体作为真数应大于0这一前提条件。

解：外函数为f（x）+log ，内函数为g（x）=x2-ax+3a 因为外函数在（0，+∞）单调递减。由题意可知：g（x）=x2-ax+3a在［2，+∞）上单

调递增，且g（x）＞0在［2，+∞）上恒成立 =>-4＜a≤4

四、分式函数

例4：已知函数f（x）= 在（-2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对形如 的函数通常采用分离常数的方法，再通过图像变换来处理相关问题。

解：

故f（x）的图像是将f（x）的图像向左平移2个单位，再向上平移a个单位，由题意可知：在（0，+∞）上单调递增，1-2a＜0，a＞。

五、高次函数

例5：已知f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对于高次的多项式函数常用导数来处理其单调性，即转化为导数的恒成立问题，而对恒成立问题的常规处理方法为（1）分离字母参数（2）数形结合。

解：导数f'（x）=3x2-a，因为f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，由题意知：f’（x）=3x2-a≥0在（-∞，-2］和 ［2，+∞）上恒成立。

方法一：分离字母参数

即：a≤3x2在（-∞，-2］和［2，+∞）上恒成立，

当x∈（-∞，-2］和［2，+∞）时[3x2]min=12，a≤12

方法二：数形结合

因为：f'（x）=3x2-a在（-∞，-2］上单调递减，在［2，+∞）上单调

例6．已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x 若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，则a的取值范围为__________。

解题关键：对“不单调”的处理

解：f（x）在（-1，1）上不单调

f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0在（-1，1）上有根且非重根

f'（x）=（x-a）[3x+（a+2）]

f'（x）=0的两根为a或 ，

由题意知：-1

以上是几种常见函数在已知单调性的情况下求字母参数范围的典型例题，通过分析、求解，可知，此类问题的解题策略是首先要分清函数类型，然后根据不同类型采用对应处理方法解决。