回归课本 注重课本原题在高考题中的应用

摘要：余弦定理反映了三角形的一种边角关系，将其转化为单纯的角的关系，对解决一些三角恒等变形问题会起到一种独特的效果。

关键词：高考；转化；余弦定理；应用

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）07-0231-02

一、问题的提出

2012年福建省理科高考第17题是本份试卷的一个亮点。一方面它以研究性学习为背景，考查学生运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想，充分体现了高中新课程的理念；另一方面本题位于试卷的第17题，充分体现出命题组不为难学生和送分的意图，但许多平时水平较高的考生表现并不理想，体现在运算量和时间成本投入较大。2012年福建省状元（有四位学生并列）的数学分数也只在136～139分之间，没有突破140分，这和前面用时较多不无关系，也就说明了这个问题。最后从落脚到探究课本的定理和例题这一视角看，给出的评分标准和标准答案也不是最佳。

【2012年福建省理科高考第17题】回放：

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

（本题的解答见后，需要说明的是该解答属笔者原创。）

二、问题的解决

我们来看下一组题目。求下列三角函数的值：

（1）sin210°+cos210°cos40°+cos240°（教科书的例题）

（2）cos2（θ+15°）+cos2（θ-15°）-■cos2θ

（3）cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°

（4）sin220°+sin20°cos50°+cos250°（95年高考题）

（5）sin220°+■sin20°cos80°+cos280°（98年高考题）

其实它们原于教科书的例题：sin210°+sin10°cos40°+cos240°课本的解法如下：

解：原式=■（1-cos20°）+■[sin50°-sin30°]+■（1+cos80°）=1-■[cos20°-cos80°]+■sin50°-■=1-■×2sin50°sin30°+■sin50°-■=■

【点评】此解法的利弊很明显，利：比较全面地复习了三角中比较常用的倍半公式、降次公式等公式；弊：运算量较大和加大了时间成本，这将导致运算出现误差和影响后面区分度较大的考题的解答。在当今120分钟要完成22道题（每题约5分钟）的高考中如何缩短时间提高效率显得重要。怎么办？

由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosA

由正弦定理得：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC

则sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA（A+B+C=π）（*）

例（1）sin210°+sin10°cos40°+cos240°

解：原式=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin2120°=■

【点评】整个解答运算量小、准确率高、时间成本有效控制，一气呵成、干净利落。

（2）cos2（θ+15°）+cos2（θ-15°）-■cos2θ

解：原式=sin2（75°-θ）+sin2（105°-θ）-2sin（75°-θ）sin（105°-θ）cso（2θ）=sin22θ

【点评】对类似该组题型的选择和填空题我们利用（*）式可直接得出结果。对该形式的解答题可利用它检查结论：或对（*）式加以证明后（易证）再加以应用。效果比较明显。

三、运用上述推广（*）对2012年福建省理科高考第17题的原创解答

（Ⅰ）选择（1）式，计算如下：

sin213°+cos217°-sin13°cos17°=sin213°+sin2107°-2sin13°sin107°cos60°=sin260°=■

（Ⅱ）三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=■

证明：左边=sin2α+sin2（120°-α）-2sinαsin（120°-α）cos60°=sin260°=■=右边

【高考评分标准如下】：

解法一：（Ⅰ）选择（2）式，计算如下：

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■sin30°=1-■=■

（Ⅱ）三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=■

sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）

=sin2α+■cos2α+■sinαcosα+■sin2α-■sinαcosα-■sin2α

=■sin2α+■cos2α=■

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）证明如下：

原式=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）

=■-■cos2α+■+■（cos60°coa2α+sin60°sin2α）-■sinαcosα-■sin2α

=■-■cos2α+■+■coa2α+■sin2α-■sin2α-■（1-cos2α）

=1-■cos2α-■+■cos2α

=■

【对比说明】限于文章的篇幅对高考标准答案不再进一步评价。本题原创解法的可取之处在于敏锐地捕捉出它原于教科书的例题，固本朔源，探究余弦定理的等价变形，本题完美解出一举成功拿下，所用时间可以接受。事半功倍。只要我们真正意义上地培养学生创新精神，我们的高三数学迎考将更加有效。

四、结论的推广与证明

下面给出已知：A+B+C=π时sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA（*）的推广：

sin2（B+C）=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos（B+C）……（**）

证明：右边=■（1-cos2B）+2sinBsinCcos（B+C）+■（1-cos2C°）

=1-■[cos2B+cos2C]+2sinBsinCcos（B+C）

=1-■[2cos（B+C）cos（B-C）]-[cos（B+C）-cos（B-C）]cos（B+C）

=1-cos2（B+C）=sin2（B+C）=左边；故（**）得证

【结束语】

随着高考制度的改革，高考中三角的试题大多来源于课本中的习题和例题或它们的变形，因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”，注重等价转化在教学中的应用，在教学中，我们应努力使学生熟练掌握公式的正用、反用、变形用或在特定条件下使用，即注重等价转化在教学中的应用，因为它可以提高思维起点，缩短思维线路，从而使运算流畅自然，缩短时间提高效率。