广州一模的一道好题赏析

何为好题？这个问题就像“什么是美”那样，不同的人会有不同角度的回答.有的人认为，题目简单明了却又不失难度是好题，比如，著名的费马大定理就属于此类；有的人会认为，能够一题多解是好题，比如，勾股定理，它有数百种证明；有的人会认为，能够把各种技巧综合起来的题目是好题，比如，数论中的哥德巴赫猜想.一般来说，很少会有题目能兼有上面所有的特点，而这些题目出现在高考题之中，就更加是凤毛麟角了.不过，笔者在读高中时的那一年广州一模，却真的有那样的一道好题，让我们来赏析一下.

题目大概意思是这样的，证明：当x≥0时，恒有

ex≥1+x+12x2+…+1n！xn

对于已经学了微积分的大学生来说，这道题目的来源是很明了的，它不过是把无穷级数ex=∑∞n=0xnn！进行了截断.然而，放到高中来看，它就成为一道颇具魅力的好题.首先，题目简洁但有难度，这是不等式题目一贯的特点；其次，它可以有多种不同的初等证明方法，证明技巧可以综合高中数学各个方面的知识.因此，从多个角度讲，它都是一道很漂亮的题目.下面给出它的几个证法，读者可以从这些证法中进一步赏析它的美.

一、数学归纳法

数学归纳法是官方所给答案中的标准方法.首先记

fn（x）=1+x+12x2+…+1n！xn.

当n=0时，也就是ex≥1是显然成立的.

假设当n=k时，结果成立，也就是假设

hk（x）=ex-fk（x）≥0，

而根据假设可以算得

h′k+1（x）=hk（x）≥0，

那么根据假设，hk+1（x）=ex-fk+1（x）单调递增，而hk+1（0）=0，所以hk+1（x）≥0.这就完成了从k到k+1的归纳.

由归纳原理，得到对所有的n，ex≥fn（x）成立.

二、作商法

数学归纳法本质上来说就是作差法，而很多人会忽略的是，比较两个正数的大小，除了作差之外还可以作商，事实上，在这里作商法似乎是最简单的方法.我们定义

gn（x）=fn（x）ex，

有gn（0）=1.并且

g′n（x）=f′n（x）e-x-fn（x）e-x=[f′n（x）-fn（x）]e-x=-1n！xne-x≤0.

所以gn（x）是单调递减的，因此，

gn（x）≤1ex≥fn（x）.

这里归纳法都省掉了，一气呵成地完成了证明！

三、逐步积分法

以上两种是考场中比较容易想到的方法，而事后分析往往能发现题目更多的技巧.逐步积分法也可以用来解决本题，当然，很难要求高中生能够在考场中想出这种方法，但是作为一种解题方法的赏析，也是颇为不错的.以上两种思路可谓是从题目出发的、“自上而下”的思路，而逐步积分法是一种“从下而上”的思路，我们从

ex-1≥0

出发，考虑它的积分，非负函数的积分还是非负数，因此，

0≤∫x0（et-1）dt=ex-1-x，

基于同样的原理

0≤∫x0（et-t-1）dt=ex-1-x-12x2，

以此类推，可以得到

0≤ex-1-x-12x2-…-1n！xn，

也就是ex≥fn（x）.

四、总结

高中考试中，经常出现一些高强度计算的题目，那些题目确实有难度，但是却算不上好题，并不利于思维的训练.笔者认为，真正的好题，应当是那些有难度、思想新颖可是又容易看懂的题目，这类题目才是真正有益于思维的发展的.此外，从本题也可以看出，不少数学压轴题，都是源于高等数学的初等化，因此，这给了我们教师一个出题的新思路.

【参考文献】

[1]李广修.证明不等式的定积分放缩法[J].数学通报，2008（07）：31

[2]董培仁.微积分视角下数列和不等式的证明[J].数学通报，2016（03）：30.