不要放过对考试题目的深度挖掘

【中图分类号】G633.6

高三复习，而每次拉练后的试卷讲评是最关键的，只有对拉练题目讲深讲透，挖掘到位，才能开阔学生思维，才能让学生站在高处俯视高考，避免就题论题，只见树木不见森林。下面就笔者对高三复习考试试题中的"一般"题目进行挖掘，拓展。

一、方法拓展，注重一题多解，培养学生思维的广度。

例1、. 已知所表示的平面区域为M，若M的面积为S，则的最小值为（ ）

A.30 B.32 C.3 D.36

【思路分析】：画出不等式组表示的平面区域，易知，，转化为求函数，在上的最小值，大部分老师是利用型（即分子次数高于分母次数）均值不等式求解，即下面的解法二。

法一：二次函数定轴定区间令

故即时，.

法二：型，利用均值不等式

当且仅当即时取.

法三：导数法 令令当时，

当时， ，所以.

【教学反思】虽然法二容易想到，但用分母表示分子的过程试比较艰苦，最好利用换元，所以，所以再利用均值不等式；方法一不好想，但却是解决本题的最佳方法；方法三虽然求导有点复杂，但导数法是绝招，几乎所有的函数求最值问题都可以利用导数解决。

所以，建议基础较好的同学把这三种方法都掌握。

二、变式拓展，注重思维量和训练量。

例2、.已知函数，数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，若对一切成立，求最小正整数.

解：（1）因为所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以

（2）当时，，又，

所以时，所以

且易知递增，所以故对一切成立，解得所以正整数的最小值为2012

【变式1】若对一切成立，求最小正整数.

分析：恒成立问题解得故最小正整数为2012

【变式2】若存在，使成立，求最小正整数.

分析：有解问题得故最小正整数为2010

【变式3】若存在，使成立，求最小正整数.

分析：有解问题得故最小正整数为2009

【教学反思】本题第二问是一个恒成立问题，但，无最大值，所以有等号，学生往往漏掉等号；变式1同样有等号；变式2和变式3都是有解问题，一方面和本题的恒成立作对比；另一方面还是考察何时取等号。通过变式，学生的思维得到规范，对恒成立和有解问题的认识更加深刻。

三、由特殊到一般，注重抓住数学问题的本质。

例3. 设、分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

解：（1）易知 设P（x，y），则

= ，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

（2）假设存在满足条件的直线易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所在直线斜率存在，设为k，则直线的方程为

由方程组.依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，则

又|F2C|=|F2D|

20k2=20k2-4，而20k2=20k2-4不成立，所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|.综上所述，不存在直线，使得|F2C|=|F2D|

【变式拓展1】对第一问进行一般化：设是椭圆为其左右焦点，求的最大值和最小值

解析：设，则，（*）

因为是椭圆上的点，所以所以代入（*）得

，因为，所以

所以当即时，；所以当时，。至此，我们得到了一般性的结论，对本题而言，，所以；，由一般结论来检验特殊问题，自此学生完成了对本题目的系统认识，学生发出了惊叹，脸上露出了笑容。

【变式拓展2】对第一问进行纵向比较：设是椭圆为其左右焦点，求的最值。

解析：设，则，，

因为，所以，所以当时，；所以当时，

【变式拓展3】是否存在过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F1C|=|F1D|？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

解析：由本题第二问的解答过程知，解得，无解，故不存在直线，使得|F1C|=|F1D|。

【变式拓展4】是否存在过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C、D，和存在点使得|PC|=|PD|？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（存在）

解析：由本题第二问的解答过程知，解得在即上有解，令，故，故存在直线，使得|PC|=|PD|

【副产品】是否存在过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C、D，和点使得|PC|=|PD|？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

解析：解得，不满足，故不存在直线，使得|PC|=|PD|

另解：由变式拓展4的结论知：因为，所以不存在直线，使得|PC|=|PD|

【变式拓展5】是否存在定点，对任意过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C、D，使得|PC|=|PD|？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

解析：和斜率有关，故不是定值，故不存在直线l，使得|PC|=|PD|

【教学反思】本题第一问是利用消元和函数思想求最值，这是通法，对于椭圆的标准方程也可用同样的方法去做，便可得到一般性的结论，完成了认识的第一个阶段：由特殊到一般；利用一般性的结论再去验证本题的答案，完成了认识的第二个阶段：由一般到特殊。变式拓展1给出了对比；拓展3至拓展5，由具体有解问题到一般有解问题，再到恒成立问题，步步为营，由浅入深，设计巧妙，符合学生的认知规律。