一道高考题的推广探究

[摘要]主要叙述了在研读历年的高考题时，发现了一道以椭圆为背景，结合向量与同心圆知识的试题.该试题构思精巧，综合性强，值得探究.将对其进行探究并推广到其他圆锥曲线.

[关键词]圆锥曲线同心圆垂直推广研究

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110043

一、真题再现

题目：椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程；

解：（1）由题意易得椭圆E的方程x28+y24=1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组y=kx+m

x28+y24=1，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0①

由韦达定理得

x1+x2=-4km1+2k2

x1x2=2m2-81+2k2，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2（2m2-8）1+2k2-4k2m21+2k2+m2=m2-8k21+2k2.要使OAOB，需使x1x2+y1y2=0，即2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0.又因为在①式中，8k2-m2+4>0，所以m2>2

3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=|m|1+k2，r2=m21+k2=m21+3m2-88=83，r=263，所求的圆为x2+y2=83.此时圆的切线y=kx+m满足m≥263或m≤-263，而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263，与椭圆x28+y24=1的两个交点为（263，±263）或（-263，±263）满足OAOB.综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB.

二、问题与讨论

对此，我们不禁提出这样一个问题：对于椭圆E：x2a2+y2b2=1是否存在这样的圆，使之任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB，若存在，又是否与a，b相关？

解：假设存在这样的椭圆E.

令x2a2+y2b2=1

y=kx+m，得

b2x2+a2（k2x2+2kxm+m2）=a2b2，即（b2+a2k2）x2+2a2kxm+a2m2-a2b2=0，

由韦达定理得

x1+x2=-2a2kmb2+a2k2

x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，

由y=kx+m得

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（a2m2-a2b2）k2b2+a2k2-2a2k2m2b2+a2k2+m2，

即y1y2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.

要使OAOB，则x1x2+y1y2=a2m2-a2b2b2+a2k2+b2m2-a2b2k2b2+a2k2=（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2b2+a2k2=0，

即（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2=0，得k2=（a2+b2）m2a2b2-1.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为

配方法一般是找出条件和题目的要求后，结合定义域的具体取值范围来求解函数最值.但并不是每一个题型都能使用配方法，还要具体题目具体分析.

二、换元法

换元法是引入新的变量，取代原式中的变量或者代数式，以便将被求函数化简为易于求解的形式.换元法是求解函数最值问题常用的重要的方法.做这类题目的基本要求是学会化简.在学会化简的基础上，再根据定义域的具体取值范围来求解函数最值.

【例2】已知x2+y2=1，求z=2x2+2xy+y2的最值.

解：由x2+y2=1，可设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π]，

则z=2cos2α+2cosαsinα+sin2α

=32+12cos2α+sin2α

=32+52sin（2α+β）（β=arcsin55）

当sin（2α+β）=1时，z有最大值为32+52；

当sin（2α+β）=-1时，z有最小值为32-52.

分析：学生用三角换元方法求最值时，需要注意结合三角函数公式的运用，如例题中的辅助角公式.学生还要注重在三角函数中“1”的活用，如sin2α+cos2α=1，tanα・cotα=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考虑用三角函数将其代换，利用三角函数的方法进行求解.同时，学生用换元法求解代数式的最值时，有时需要结合其他方面的知识内容，如基本不等式、三角函数等.

学生在数学学习中会习惯于根据题目的已知条件去简单的计算.但在求解函数最值问题的计算中需要用换元法.有的学生在做习题时一遇到困难就思维短路，题目做不下去时就会放弃，这是典型的学习困难或学习心理障碍.教师在教会学生解题方法的同时，还要对其进行心理辅导，帮助学生克服学习心理障碍，培养学生的解题能力.