对一道圆锥曲线习题的探究

摘要：本文讨论了对一道圆锥曲线习题的探究，分析了学生解答此类型题目的具体方法，以便能为学好数学做铺垫。

关键词：数学教学；圆锥曲线习题；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）30-0122

有这样一道题：

引题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在ABB1A1所在的平面上，满足∠PDB1=∠MDB1，则点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

学生的一般解法是：

如图建系，设正方体的棱长为2，P（x，y，z），M（0，2，1），B1（2，2，0），D（0，0，2），则■=（0，2，-1），■=（2，2，-2），■=（2，y，z-2），

cos∠MDB1=■

=■=■，

cos∠PDB1=■

=■，

由cos∠MDB1=cos∠PDB1，

得：■=■，

化简得：2x2+2y2+2z2-5xy+5xz+5yz-10x-10y-8z+8=0（*）。

因为，点P在ABB1A1所在的平面上，

所以，令x=2，方程（*）变为：2y2+5yz+2z2-20y+2z-4=0；

化简到此，一些学生认为：y2，z2的系数相等，应该是圆；也有一些学生认为：y2，z2的系数都为正，且含xy项，所以不是圆，可能是椭圆，更有同学说由于∠PDB1=∠MDB1，所以可以理解为一个以DB1为轴，以DM，DP母线为圆锥被平面AB1所截的截线，由于平面AB1平行于母线DM，教材的章头图中说这是抛物线。还有更多的结论……

那么到底如何判断呢？学生对此产生了困惑。

下面我们研究二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0。

我们已经知道：若二次曲线的系数满足A=C≠0B=0D2+E2-4AF>0，则该曲线是圆，对于其他情况我们无从下手。

定义：二次曲线F（x，y）a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（1），

令？椎（x，y）=a11X2+2a12XY+a22Y=0（2），满足条件？椎（x，y）=0的方向X∶Y叫做二次曲线（1）的渐进方向，否则叫做非渐进方向。

因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐进方向X∶Y所满足的（2）总有确定的解。

如果a11≠0，那么把（2）改写成a11（■）2+2a12（■）+a22=0，

令I2=a11 a12a12 a22，得■=■=■；

如果a22≠0，那么把（2）改写成a22（■）2+2a12（■）+a11=0，

得■=■=■；

如果a11=a22=0，那么一定有a12≠0，这时（2）变为2a12XY=0，所以X∶Y=1∶0或0∶1，

这时I2=0 a12a12 0=-a12

从上我们看到，当且仅当时I2>0，二次曲线（1）的渐进方向是一对共扼的虚方向；I2=0时，（1）有一个实渐进方向；I2

定义 没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。

因此，二次曲线（1）按其渐进方向可以分为三种类型，即

椭圆型曲线：I2>0；

抛物型曲线：I2=0；

双曲型曲线：I2

对于二次曲线F（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，

则I2=A ■■ C=AC-■0与二次函数中“？驻”的计算一致。

所以我们可以把结论记成：

定理：？驻=B2-4AC0 双曲型

其中，椭圆型包括圆、点；双曲型包括两条相交直线；抛物型包括直线。

这样记起来很方便，对符号的记忆可以通过几个特殊的曲线。如椭圆x2+2y2=1，？驻=0-80 。

下面回到我们的引题：

由于A=2，B=5，C=2，？驻=B2-4AC=25-4×2×2>0 为双曲线。

探究1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在AD1C1所在的平面上，且满足∠PDB1=∠MDB1，求点P的轨迹。

分析：如图建系，设正方体的棱长为2，P（x，y，z），易得■=（1，0，-1）是平面AD1C1的法向量，则由■・■=x-z，得z=x，代入方程（*）得：

9x2+2y2-18x-10y+8=0，

？驻=B2-4AC=0-4×9×2

探究2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在AD1C所在的平面上，且满足∠PDB1=∠MDB1，求点P的轨迹。

分析：如图建系，设正方体的棱长为2，P（x，y，z），易得■=（1，1，-1）是平面AD1C，则由■・■=x+y-z=0，得z=x+y，

代入方程（*）得：

9x2+9xy+9y2-18x-18y+8=0，即x2+xy+y2-2x-2y+8=-■

因为，（x-■）2+（y-■）2+（z-■）2=2（x2+xy+y2-2x-2y）+■=■

所以，在AD1C所在的平面上，曲线上的点到点（■，■，■）的距离都是■，所以点的轨迹是圆。

探究3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P在ABB1A1所在的平面上，且满足∠PDB1=∠MDB1，求点P的轨迹。

分析：如图建系，设正方体的棱长为2，P（2，y，z），

B1（2，2，0），D（0，0，2），

则由■=（2，2，-2），■=（2，y，z-2）

cos∠PDB1=■=■，

cos∠C1DB1=■

因为，∠PDB1=∠C1DB1

所以，■=■

化简得：y2+2yz+z2-8y=0

？驻=B2-4AC=22-4×1×1=0

则点的轨迹是抛物线。

从引题与探究3中可以看出，用一平行母线的平面去截圆锥，交线不一定是抛物线，如引题。

有了这个定理后，我们可以对形如F（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程所表示的曲线的类型作一个大致的判断。

（作者单位：浙江省象山中学 315700）