合理定位 整合重组 建立标准

[摘 要] 三角形稳定性的教学一直困扰着众多的数学教师，面对困境大家也是众说纷纭，争论不止. 如何解决教学中存在的问题，消除学生生活经验带来的副作用，帮助学生建立正确的三角形稳定性的概念呢？笔者从多方面分析了出现此类现象的原因，并提出了几点思考.

[关键词] 三角形稳定性；合理定位；理解含义；整合重组；建立标准

问题缘由

近日，笔者有幸参加浙江小学数学教研员风采展示活动，其中一位教师执教的“三角形认识”一课，对“三角形稳定性”的处理引起全场的大争论.

争论一：“三角形稳定性”目标的定位，即“三角形稳定性”是本节课的重、难点还是一般了解性知识. 前者认为，要让学生真正理解三角形的稳定性，必须让学生理解数学本义上的稳定性. 后者认为，“三角形认识”一课包括三角形的概念、三角形的稳定性和三角形高的认识，以及作高的方法等，三角形的稳定性作为三角形认识众多内容中的一个，联系前后教材，认为三角形的稳定性没有必要花很长时间去研究和体验，只需按教材中提供的“拉一拉”来认识一下就行了.

争议二：认识三角形稳定性的“方式”，即通过直观“拉一拉，会不会引起变形”还是从“图形的唯一性、确定性”中去理解.

争论三：如何“解释”由学生的“生活经验”对三角形稳定性带来的认识误差. 如红领巾拉得动，不具备稳定性，因此三角形也不具备稳定性；楼梯扶手中的平行四边形拉不动，因此平行四边形也具有稳定性等.

对于前两个争议，大会主持人现场采样，支持两种观点的人数均不相上下，对于争论三，在场的众位专家对此也无定论.

实践误区

通过对数学教师和五、六年级学生的测查、访谈发现，多数师生对三角形稳定性的认识处在非常浅的层次（数学教师能够清楚知道三角形稳定性的可以说是凤毛麟角），在教学中易出现三方面的误区.

误区一：“三角形”与“三角形物体”混为一谈

我们研究的是几何意义上的三角形，然而学生面对的“红领巾”“自行车架”等都是三角形的物体，错将“三角形图形”与“三角形物体”混为一谈. 这样的结果导致学生容易做出错误的推理. 他们认为，因为三角形具有稳定性，所以所有三角形的物体都具有（物理意义上的）稳定性. 四边形容易变形，所以所有材料构成的四边形物体不具备（物理意义上的）稳定性. 有些人则能举出其中的个别反例，如“红领巾问题”，红领巾（的结构）是三角形，它一拉就会变形，所以三角形不具备稳定性；焊死的自行车架（的结构）是四边形，它拉不动，不会变形，因此它也具有稳定性. 从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑，也易使学生产生错误的推理，造成认识上的矛盾.

误区二：将生活中物理意义上的“稳定”与几何意义上的“稳定”混为一谈

访谈中一个学生对“稳定性”的解释是：“人两脚站在地面上可以站住，是稳定的，而单脚站，人却会摇来摇去，不稳定”，显然此“稳定”并非三角形稳定性之“稳定”. 由于学生以生活概念中的“稳定”来理解数学意义上的“稳定”，所以出现认识上的误差也是必然现象. 因此，有教师另辟蹊径，试图让学生理解数学本义上的稳定性以消除生活经验的负迁移.

误区三：以“拉不拉得动”为标准，判断图形是否具有稳定性

从多数师生的反馈文字中可以看出，他们是以“是否拉得动”为标准来判定多边形是否具有稳定性. 他们把操作活动注意点集中在了“是否拉得动”的节点上. 教学时教师让学生自己用木条连接成一个三角形和一个平行四边形，然后拉一拉，发现三角形拉不动而平行四边形拉得动，由此判定三角形具有稳定性，而四边形拉得动，容易变形，因此认为四边形不具有稳定性. “拉得动、拉不动”的标准也是使学生形成错误逻辑的重要因素之一，由此可见，这样的判断标准是“不合适的”.

关于几何意义和物理意义对三

角形稳定性各自的解释

在调查中发现，数学教师对三角形稳定性的认识大多来自教材和教学参考书，有些观点甚至是不正确的，如一个数学教师认为，三角形承受的力比四边形的力要大，因此认为三角形有稳定性；另一教师认为，三角形的三边不可变形，也就是三角形的稳定性等. 由此可见，数学教师自身对三角形稳定性的认识的缺失是造成众多误区的重要因素.

到底什么是三角形的稳定性？几何学对三角形的定义是“由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形”，在此基础上再对三角形稳定性的定义是“当三角形三条边的‘长短’固定后，这个三角形的形状、大小也就固定了”. 而四边形、五边形等其他多边形的边的长短固定后，其形状、大小不能确定，它们不具备稳定性.

三角形物理意义上的稳定性：如图1，把3根木条（或其他材料）摆成一个三角形ABC，然后把3个重叠处铆接（或捆扎）起来，此时，即使用较大的力试图改变这个“木条三角形” 的形状也不可能――除非力大到能破坏木条的程度.

为什么采用同样的材料、用同一种方式制成的三角形物体比其他多边形物体更具（物理意义）稳定性呢？如图1，如果把任意方向的、不太大的力F加在某一根木条（如AC）上，显然三角形是稳定的，这是因为F只能使AC产生较小的形变而维持三角形ABC的大体形状，只有当很大的F才会使AC断裂，这就是说，此时三角形是稳定的. 如果把不太大的力F加在三角形ABC的任意一个顶点（如A）上，F会沿着木条AB和AC按平行四边形法则分解为F和F，且分别沿AB和AC方向作用于AB和AC. 而我们知道，“立木承千斤”――AB和AC都不会因“弯腰”而破坏三角形ABC的大体形状，也就是说，此时的三角形也是稳定的.

但把4根木条也“如法炮制”时（如图2），会发现，用较小的力就能改变这个“木条四边形”的形状. 类似地，其他数目的木条铆接成的多边形，形状也会被轻而易举地改变，变成其他形状的多边形.

研究表明，正是因为“三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定”这一几何意义上的稳定性，使得具有三角形结构的物体有了物理意义上的稳定性，而其他任何多边形在“同等条件”都不具有类似的稳定性. 但这种几何意义上的稳定性能被四年级学生所理解和接受吗？教材放进这个内容的目的是什么呢？它是怎样把三角形稳定性这个抽象数学意义转变成教育意义的呢？

各种版本对三角形稳定性的处

理分析

通过分析各种教材（苏教版、北师大版、青岛版、新数学读本、西南师大版、人教版、台湾2007年国小教本等七种教材，其湾国小没有涉及三角形的稳定性），发现对“三角形的稳定性”处理有共性的地方：都把它安排在四年级下册. 编写意图是因为稳定性是三角形的重要特性，在生活中有着广泛的应用，对它进行教学可以让学生对三角形有更为全面和深入的认识，同时有利于培养学生的实践精神和实践能力. 各版本教材对这一内容的设计思路大多采用“情境、问题――实验、解释――特性、应用”的方式呈现，都强调实际操作“拉一拉四边形架和三角形架”，及结果的对比，即四边形能拉动，会变形，而三角形却拉不动，具有稳定性.

这些版本最大的不同是引导学生关注点和对稳定性内涵所涉及深浅的不同. 只有苏教版教材中出现了几何意义上的稳定性――“为什么生活中许多的物体都具有三角形的结构？这是因为三角形具有稳定性，也就是当一个三角形三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变”；西南师大版、北师大版、新数学读本等出现的信息在提示学生关注“拉后”是否“变形”节点；青岛版、人教版出现的信息则暗示学生注意在“拉不拉得动”的节点上.

人教版初中教材与小学教材一样，采用了“扭动”三角形木架不会改变，而四边形木架的形状会改变，由此说明三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性. 但在教材解读中出现了较为明确的几何意义上的三角形稳定性：扭动三角形木架，它的形状不会改变，也就说，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了. 扭动四边形木架，它的形状会改变，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定其形状，它的各个角的大小会改变.

分析各版本得知，“操作‘拉’、比较结果”是目前各教材都采用的方法，这种方式可把几何意义上的抽象的三角形稳定性“可视化、直观化”，这会给学生留下深刻的记忆，这从多数学生的访谈中得到了佐证，多数学生是以这个活动为记忆信息记住了或回忆起三角形稳定性的，解释时也用到了这种现象. 问题是，如果只是单纯地操作、对比一通，所带来的副作用也是显而易见的，所以我们所要做的是消除一些不利因素. 那如何在学生思维的“具体、形象”与数学自身的“抽象、形式”之间找到一个恰当的平衡点呢？

思考与教学建议

1. 目标应合理定位

（1）三角形稳定性在课时目标中的定位：不应把它作为“三角形认识”一课中的重点来教学，而应作为一般的了解性知识来处理，这是比较合理的. 以人教版为例，整个单元分为四大块，即三角形的特性、三角形的分类、三角形内角和和图形的拼组，而三角形的特性又包括三角形的定义、三角形各部分的名称、三角形的稳定性、三角形任意两边之和大于第三边等内容. 从下表可以看出，“三角形认识”的第一课时（一般以例1和例2为第一课时）内容多，时间紧，难点难以突破. 从其他版本对三角形呈现的信息和教材参考中提供的分析也可以看出，对三角形稳定性目标定位并没有“浓墨重彩”，再则，七年级上册（人教版）对三角形稳定性将专门用一个课时加以研究，因此把“三角形稳定性”定位为了解性的知识、作为三角形认识的次要目标也是恰当的.

（2）对于三角形稳定性认识程度上的定位，笔者以为，介于以上的分析及教学后的情况看，应让学生初步了解几何意义上的“稳定性”，并以此作为对“拉”的补充认识，避免或减少学生引起认识上的矛盾.

2. 整合重组

（1）内容整合. 如何在40分钟内完成教学内容，达成课时目标呢？一般的教学是把三大块内容：三角形的概念和各部分内容、三角形稳定性和三角形的高单独分割开进行独立教学. 如果把三角形概念的认识与三角形稳定性的认识相互整合在同一个数学活动中，那就可以节省不少的教学时间，为学生认识和理解几何意义上的稳定性剔除生活经验的副作用创造条件.

（2）认识方式上的整合――沟通抽象意义与直观操作之间的联系. 首先用“摆”的活动让学生认识到，三角形在三条边长确定后，它的形状大小也就确定了，而四边形的形状、大小却不相同. 在此基础上，通过“拉”的活动，引导学生关注“形状、大小是否发生改变”，并结合生活实例让学生感悟物理意义上的稳固性，把两种意义上的稳定性通过引导有机地结合起来.

3. 提出“稳定性”与“稳固性”两个概念

在教学中明确提出“稳定性”与“稳固性”两个概念，以区别不同的属性，即抽象的几何意义与物理意义. 这样一来，可把几何意义的稳定性注意点引到“不变”，把物理意义上稳定性的注意点引到“牢固”的程度，就能较好地解决只用“稳定性”一个词所带来的副作用.

4. 正确理解“拉”的含义，建立正确的推理方向

扭动三角木架或四边形等多边形木架的优越性是显而易见的，它能把抽象的三角形稳定性知识“物化”，使学生看得见、摸得着，让学生在观察与操作实践中建立形象，形成表象. 但操作活动具有两层含义：①它能直观地显示出几何意义上“图形的唯一性与多样性”. 拉三角形，只有一种形状的三角形，拉四边形，在顶点不固定的情况下，利用顶点的扭动，能直观地显示出全部的四边形的样子. ②物理意义上的稳固性，拉三角形，没有变形，说明牢固；拉其他的多边形，易变成其他形状的多边形，比三角形不牢固. 由于教材的误导、教师的错误引导和学生头脑中生活经验的副作用，对操作活动的认识都集中到了物理意义上的稳固性上.

在了解三角形几何意义上的稳定后，教师应帮助学生建立这样的观点：正是因为“三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定”这一几何意义上的稳定性，使得具有三角形结构的物体具有稳固性，而其他任何多边形在“同等条件”下都不具有类似的稳固性. 然后，用“拉一拉”的活动来体验“三角形的牢固性和不容易变形性”，以帮助学生建立正确的推理方向，但不能反过来推导.

5. 建立“标准”，剔除生活经验的副作用

（1）改变教材，建立正确的判断标准

不能以“拉不拉得动”或 “变不变形”为标准，应把学生的“关注点”引导到“拉后，有没有变成其他形状的多边形”. 如拉三角形后，它没有变成其他形状的三角形，因此说三角形的“形状”具有稳定性，而拉四边形、五边形等其他多边形后却变成了其他图形的多边形，因此不具有图形的稳定性，容易变形. 这样就可以解释，红领巾的拉动变形或用纸做成的三角形会拉得动的情况了，因为这些拉动或拉动后，这些物体不再是三角形图形了. 有没有变成其他多边形的“节点”在于观察多边形相邻两边之间夹角的角度有没有变化，因此建议教材（如人教版）也应作出相应的修改（如将“拉不动”换成“不会变成其他形状的三角形”）.

“‘拉’后有没有变成其他形状的多边形”，这样的标准使得这种直观的操作与抽象的几何定义有了直接的沟通，使得抽象的几何定义有了直观的外显形式，这样就可以帮助学生建立正确意义上的表象.

（2）建立相同的操作标准――同样的材料，同样的制作方式

让学生用同样的材料、同样的制作方式做出三角形、四边形、五边形、六边形等进行拉的活动，然后教师要重点引导：刚才我们用同样的材料、同样的制作方式做出来的四边形、五边形、六边形，轻轻地一拉就变成了其他形状的四边形、五边形、六边形，可见，这些图形是容易改变其形状的多边形，而唯独三角形不管从哪个方向上拉，形状都不会发生改变，还是原来的三角形，这就是三角形的一个重要的特性――稳定性.

追寻三角形稳定性的教学之路，我们该做的还有很多，本文仅是“引玉”之砖，期待着更深刻、有效的研究.