基于K-SVD的偏微分方程模型在毫米波图像恢复中的应用

摘 要:在图像被大噪声污染或具有较低分辨率时,传统的偏微分方程(PDE)模型的稳态解会产生明显的阶梯效应,恢复图像质量较差。针对此缺点,提出了一种新的基于K-奇异值分解(K-SVD)的PDE图像恢复方法,并应用于毫米波(MMW)图像的恢复。K-SVD是一种图像稀疏表示方法,对图像进行稀疏估计的同时实现去噪,对噪声方差较大的图像具有较好的去噪鲁棒性。首先采用K-SVD对MMW图像进行去噪,对去噪图像再应用全变分(TV)模型的PDE方法进行恢复。对所提出的算法分别使用模拟的MMW图像和真实的MMW图像进行测试,并进一步和K-SVD、PDE方法比较,同时使用峰值信噪比(PSNR)对恢复图像进行评价。根据不同噪声方差下的PSNR数据和恢复图像的视觉效果,实验结果证明了所提方法能够有效地恢复MMW图像。

关键词:偏微分方程(PDE);K-奇异值分解(K-SVD);毫米波图像;稀疏表示;图像去噪

中图分类号: TP391.41 文献标志码:A

Application of PDE model based on K-SVD in millimeter wave image restoration

SHANG Li1,2*， SU Pingang1,3

(

1.Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou Jiangsu 215104, China;

2.Department of Automation, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230026, China;

3.State Key Laboratory of Millimeter Wave (Southeast University), Nanjing Jiangsu 210098, China

)

Abstract:

When an image contaminated by large noise or with lower resolution is processed by the traditional Partial Differential Equation (PDE) model, the stable solutions of PDE can generate a distinct step effect and the restored images quality is relatively poor. Therefore, a new PDE image restoration method based on K-Singular Value Decomposition (K-SVD) was proposed and used successfully to restore MilliMeter Wave (MMW) image. K-SVD was a sparse representation method of images. An image can be denoised when it is sparsely estimated by K-SVD. Especially, for images with large noise variance, K-SVD has better denoising robustness. At first, the MMW image was denoised by K-SVD, and then PDE method based on Total Variation (TV) was utilized to restore the denoised images obtained by K-SVD. In test, a simulated MMW image and a real MMW image were used respectively to testify the proposed algorithm, and then the results were compared with those of K-SVD and PDE. At the same time, the Pick SignaltoNoise Ratio (PSNR) criterion was used to measure restored images. In terms of PSNR values and the vision effect of restored images with different noise variance, the simulation results show that the proposed method can efficiently denoise MMW images.

Key words:

Partial Differential Equation (PDE); K-Singular Value Decomposition (K-SVD); MilliMeter Wave (WWM) image; sparse representation; image denoising

0 引言

相对于可见光和红外图像,毫米波(MilliMeter Wave, MMW)成像技术受气象条件影响小,穿透性能好,具有准全天候工作的能力,在导航、遥感、安检等军事、民事应用领域有重要的实用价值[1-3]。但是,由于受成像场景、硬件设备精度和绕射现象的影响,MMW成像数据不可避免地存在大量未知的噪声,成像图像视觉效果较差。如果改善硬件设备,除了代价昂贵,还存在一些难以克服的技术障碍,因此,采用软件技术提高MMW图像的质量受到研究者的关注,这种方案不仅可以较大幅度地提高系统的分辨率,而且经济、有效,广泛应用于光学、红外等领域[4]。目前,已发展了多种毫米波图像恢复方法,如极大似然估计(Maximum Likelyhood Estimation, MLE)方法[5]、最大后验概率(Maximum A Posteriori, MAP)方法[6]、正约束方法[7]、洛仑兹方法[8]、偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)方法等[9-11]。其中PDE方法是一种原理简单、计算方便的图像恢复方法,但当噪声很大时,其去噪能力有限。近年来兴起的K奇异值分解(KSingular Value Decomposition, K-SVD)方法一种自适应选取基函数从而实现图像稀疏表示的有效方法[12-13],具有人眼视觉特性,特别对噪声较大的图像,其去噪鲁棒性更好。考虑K-SVD的优点,本文将PDE和K-SVD自适应稀疏表示方法相结合(记作K-SVD+PDE),得到一种新的MMW图像恢复方法。分别采用模拟的毫米波图像和真实场景生成的毫米波图像对本文算法进行测试,实验结果证明了该组合方法的有效性和实用性。

1 偏微分方程模型

PDE方法采用简单函数局部逼近的思想实现图像的高分辨率恢复,其数学理论基础简单描述如下:在Rn空间中,令x=(x1,x2,…,xn)表示自变量,u=u(x1,x2,…,xn)表示未知量,则PDE的基本形式[9-10]可以写为:

G(x1,…,xn,u,ux1,…,uxn,…,mux1m1x2m2…xnmn)(1)

PDE的阶为m=m1+m2+…+mn。PDE问题由两部分组成:PDE表达式、求解区域及其边值条件。如果PDE的解存在、唯一且关于定解条件稳定,则PDE是适定的。

假设一幅低分辨率图像(x,y)表示为=HF+η,其中F(x,y)为原始图像,H为模糊算子,η是噪声信号。

本文采用总变分(Total Variational, TV)模型作为基本的PDE模型来实现图像的恢复。TV模型的最小化目标函数构造如下:

minu(12HF-2+λ∫ΩFdxdy)(2)

2 图像的稀疏表示

对一维信号进行稀疏分解的过程即是从过完备字典中选择具有最佳线性组合的若干原子来表示信号,这种逼近过程[12-13]可以描述如下:

=fc+fr=∑Kk=1akdk+fr(4)

其中:fc=∑Kk=1akdk为f的逼近信号,K为字典中的原子数, fr为残余分量,dk为给定过完备字典D∈RN×K中的第k行原子向量,ak为系数矩阵A中的第k列系数向量。从稀疏角度出发,希望在fr达到最小的情况下得到A最稀疏的一个解,可以构造的优化函数如下:

mina0(5)

s.t. f-∑Kk=1akdk2≤ε

其中:・0是L0范数,它计算向量中非零元素的个数,ε表示误差值。

对于图像而言,图像稀疏表示就是寻找一组基D,利用相对少的元素dki来表达原始图像,使投影所得的系数对于整个自然图像尽可能地统计无关,同时达到较高的逼近率,获得很近误差ε22,也即是使“非零”系数尽可能地少,仅用少量的系数就能表示图像的主要特性。

3 基于K-SVD的图像去噪方法

假设无噪声图像F的噪声污染图像为=F+η,其中η=N(0,σ2)为独立零均值高斯白噪声。如采用K-SVD方法直接对整幅图像进行操作,计算量十分惊人,如一幅512×512的图像,字典冗余度为4,则字典中原子个数将达到1.05×106,按照匹配算法原则,在忽略加法运算的情况下,每分解一次共需约2.75×1011次乘法[8-10]。为了减少计算量,本文先将含噪图像随机划分为p×p 大小的相互重叠的小块图像,对这些子图像块进行训练得到自适应过完备字典D;然后,使用D对每个子图像块进行K-SVD稀疏估计,而对于各重叠区域内存在多个估计值的像素点,对其求平均值;最后,对各个子图像进行恢复,从而实现整幅图像的去噪。实现字典D学习的最小化目标函数[14-16]如下所示: