浅谈“乘法分配律”的证明

“乘法分配律”是乘法运算定律教学中的一个重点，更是一个难点，难就难在学生对其意义的理解和灵活运用上。乘法分配律的核心本质是乘法的意义，这是学生已有的知识基础。《教师教学用书》中阐述：“乘法的交换律、结合律和分配律，除了从形式上抽象地加以证明之外，也可以依据‘同数连加’的定义，借助直观作出说明。例如对于乘法交换律，可以通过直观说明b个a连加与a个b连加的结果相等。又如关于乘法分配律，可用a个c加b个c等于（a+b）个c加以解释。”根据这段描述，我在教学中从乘法的意义和乘法分配律的基本形式两方面加以证明乘法分配律，让学生理解得更透彻、深刻。不仅如此，我还用数形结合的形式，从几何直观上为学生从本质上理解乘法分配律提供形象的支撑。

在启发学生从多个角度表述乘法分配律，得出乘法分配律的基本形式后，我引导学生证明：根据乘法的意义，（a+b）×c表示c个（a+b）的连加，将括号去掉，根据乘法的含义，就是a×c+b×c。即：

（a+b）×c =（a+b）+（a+b）+…+（a+b）〔注：c个（a+b）〕

= a+a+…+a+b+b+…+b 〔注：c个a与c个b〕

= a×c+b×c

特别是当c=0时，（a+b）×0=0=

a×0+b×0；当c=1时，（a+b）×1=

a+b=a×1+b×1。

这样向学生证明之后，仍然有部分学生感觉有点抽象，怎么办？能不能用数形结合的方法呢？我灵机一动，想到可以用求长方形的面积来证明。于是我逐步出示一长方形（如图1所示），让学生求它的面积。

学生有两种方法：一是把它看作长为a+b、宽为c的一个大长方形，列式为（a+b）×c；二是把它看作两个小长方形的面积之和，列式为a×c+b×c，由此可知（a+b）×c=a×c+b×c。而这正好和乘法分配律的基本形式是完全一致的，图形直观又形象，学生一下子就理解了，更重要的是把新旧知识相联系，从而有效地证明、理解乘法分配律。

其实在人教版教材的练习习题（第47页第7题）中有乘法分配律的一种几何模型，也可以用来理解、验证乘法分配律。题目是：“李大爷家有一块菜地（见图2实线部分），这块菜地的面积有多少平方米？”这是一道有关几何计算的实际问题，题中的多边形可以划分为宽相等的两个长方形，因此又可以把这两个长方形拼成一个大长方形。如图2所示：

因此学生可以列式为21×9+19×9，也可以列式为（21+19）×9，即21×9+19×9=（21+19）×9，用字母表示就是（a+b）×c=a×c+b×c，学生从几何模型上再次证明了乘法分配律。

教材的内容是浅显易懂的，而知识的运用是千变万化的。上面我们说过，乘法分配律的难点之一就是难在灵活运用上。因此实际教学中，需要我们对教材的内容进行再加工和提高，来加深学生对知识的理解，拓展思维。如对于乘法分配律的变形形式（a-b）×c= a×c-b×c或者a×c-b×c=（a-b）×c，我们也应该提炼出来。因为它同样也可以用求长方形面积的方法来证明，只要用图2的大长方形面积减去其中的小长方形的面积就可得出a×c-b×c=（a-b）×c，再次证明（a-b）×c=a×c-b×c。总之，我用不同的方法引导学生用数学的思维方式去证明乘法分配律，沿着“猜想—证明—总结”的轨迹去探索，经历探索数学规律的过程，达到启迪学生掌握数学思想方法的目的。

进一步地，《教师教学用书》中指出：“本单元所学习的五条运算定律，不仅适用于整数的加法和乘法，也适用于有理数的加法和乘法。随着数的范围进一步扩展，在实数甚至复数的加法和乘法中，它们仍然成立。”下面我们继续证明，在小学数学阶段的分数范围内，乘法分配律

仍然成立（这里a，b，c，d，m，n是整数，且b，d，n≠0）。

因为

所以

。

上面的证明都是针对乘法分配律的基本形式进行，对于乘法分配律的拓展形式，即（a1+a2+…+an）×b=a1×b+a2×

b+…+an×b。我们也可以用同样的方法来拓展证明，只不过稍微复杂一点而已。

（作者单位：江西省金溪县实验小学）