基于二维幅值谱的正弦信号频率估计

摘 要:信号中含有噪声或非整周期截断时发生的频谱泄漏是导致正弦信号频率估计精度不高的主要原因。针对这一问题,从扩展信号频谱表征方式出发,将经典幅值谱扩展至不受频谱泄漏制约、表现力更强、可读性更好的二维幅值谱。与经典幅值谱相比,二维幅值谱除包含信号的频率个数、幅值信息外还包含了易于获取的周期信息,且具有一定的抗噪性,在信噪比低至-10 dB时仍有较好表现力。提出一种估计方法,先从二维幅值谱中估计出信号的周期T,然后根据信号采样频率、信号频率、以及信号周期T之间的定量关系完成信号的频率估计。实验结果证明了该方法的有效性。基于二维幅值谱的正弦信号频率估计方法为正弦信号的频谱估计提供了一种新思路。

关键词:DFT; 二维幅值谱; 频率估计; 正弦信号

中图分类号:TN911 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)13-0103-04

Sinusoid Signal Frequency Estimation Based on Two-dimensional Amplitude Spectrum

HAN Feng, TIAN Min, XU Gang

(Mechanical College, Inner Mongolia University of Technology, Huhhot 010051, China)

Abstract: The spectrum leakage producing as the signal has noise or non-integer period truncation is a principal reason of reducing the accuracy of the sinusoid signal frequency estimation. The typical amplitude spectrum of signals is expanded from one dimension to two dimension for solving that problem. The 2D amplitude spectrum shows more useful information of signals and is not limited by the signal integer period truncation. It contains the number of signal frequencies, amplitude information and easily obtained periodic information. Because of that, more useful information can be obtained from 2D spectrum than 1D′s. The 2D amplitude spectrum still has noise cancelling performance when SNR decreases to -10 dB. A new method to accomplish the frequency estimation of the signal according to the quantitative relation among sampling frequency, signal frequency and signal period T which is obtained by the estimation of 2D amplitude epectrum is proposed. It has an agreeable accuracy and good robustness.

Keywords: DFT; two-dimensional amplitude spectrum; frequency estimation sine signal

0 引 言

含噪声正弦信号的频率估计是信号处理领域研究的重要课题之一,被广泛应用于雷达、通信、声纳、电子对抗等多个领域。目前正弦信号频率估计方法众多[1-5],各种现代谱估计方法可实现正弦信号频率的精确估计,但这些方法算法复杂、计算量大[6]。基于DFT的经典幅值谱(一维谱)分析方法,由于可利用FFT而具有运算速度快、对正弦信号具有显著的信噪比增益、算法参数不敏感等优点而被广泛使用[7]。但当采样频率为DFT频率分辨率[8]的非整数倍,即信号截断长度不是信号周期整数倍时,信号频谱就发生泄漏[9]。即使无噪声影响,信号真实频率仍落于主瓣内两根离散的谱线之间,导致频率估计精度无法满足要求。低信噪比情况下,频率估计精度更低。基于FFT的各种插值算法改善了估计精度,但以增大计算量或复杂算法为代价,因此寻求一种算法简单、估计精度高,且具有一定抗噪声能力的正弦信号频率估计方法成为人们的研究目标。本文从拓展信号幅值谱的表征方式出发,以Matlab为平台,在DFT的基础上将一维谱扩展到突显信号更多信息的二维幅值谱(简称二维谱),并在其基础上推导出正弦信号频率与信号采样频率、信号一个周期内样本点数以及频率直线斜率之间的定量关系,进而实现正弦信号的频率估计。实验结果验证了该方法具有鲁棒性好、估计精度高的特点。

1 二维谱的理论依据及解读

1.1 二维谱的理论依据

设时域离散信号为x(n),频域为X(k),信号时域截断长度为N,当N为定值、k为变量时,可将X(k)看成关于k的函数,г蚋据有限长序列的DFT公式:

X(k)=∑N-1n=0x(n)e-j2πkn/N,k=0,1,2,…,N-1 (1)

可做出x(n)在某个频率点k的一维谱。若将DFT公式中信号时域截断长度N、频率点k均看作变量,则信号幅值与N,k均有关,可将信号幅值表达为X(k,N),那么有限长序列的DFT公式就可看作以信号时域截断长度N和频率点k为自变量、以信号幅值X(k,N)为因变量的二元函数,如式(2):

X(k,N)=∑N-1n=0x(n)e-j2πkn/N,k=0,1,2,…,N-1 (2)

式(2)确定了一个以信号长度和频率为自变量的┒维信号谱。

对有限长信号序列,非整周期截断时一维谱发生频谱泄漏而使其有用信息可能淹没于泄漏的能量之中,致使信号分析时无法解读出足够的有用信息;而对于二维谱(二维谱亦为双边谱,文中二维谱均指频率点k取正值的右半边谱),由于将信号长度亦作为变量使采样信号中必包含信号的整周期点而使二维谱的可读性受能量泄漏影响较一维谱小,故而二维谱突显了信号更多有用信息,具有良好的可读性。

1.2 二维谱的解读

当用来作二维谱的信号长度满足条件N≥8T时,二维谱频率分辨率好[10],展示出的信号周期(频率)信息完整,具有较佳表现力,便于做谱分析来完成信号的频率估计,故称之为二维谱较佳表现力条件。与一维谱相比较,二维谱具有以下特点:

(1) 直观反映出信号周期及幅值信息

设T为信号一个周期里的样本点数,N为信号的样本点数,则T=100,N=1 000的正弦信号在k取1~10时的二维谱如图1所示,可解读为:一个直线走向的“山脊”表示信号中含有一个频率成分,信号的频率信息包含在直线状的“山脊”中。“山脊”由若干“山顶”组成。实验观察发现:一个“山顶”对应信号的一个周期,若作二维谱的信号长度不是信号周期的整数倍时,则┒维谱中会出现不完整的“山顶”。对“山顶”做定量分析有:二维谱中的“山顶”个数是作二维谱的信号中实际包含的信号周期个数的一半,若作二维谱的信号长度不为T的整数倍,则“山顶”对应的周期数为非整数。“山顶”高度对应信号的幅值大小。

二维谱中表征信号周期及幅值信息的“山顶”对应存在着尖点。对于确定的有限长信号序列,在N方向,尖点随着信号长度N的变化遵从信号周期而周期性地出现;沿k方向,尖点随着信号长度N的变化有规律地平移,尖点的这些特征包含了信号的周期信息,尖点高度表征了信号的幅值信息。暂称这些尖点为信息点。有限长信号序列的信息点位于一条直线上。根据上文对信息点的分析可知,信息点包含了精确的信号周期信息。这是基于二维谱实现正弦信号频率估计的重要依据。

图1 正弦信号的二维幅值谱

(2) 受制约条件少、频率分辨率高

工程实际中,信号的周期信息往往是未知的,信号采集时很难做到整周期截取。对于有限长信号,无干扰整周期截断时一维谱具有良好的频率分辨率,此处指从谱中能够判断出信号所含的频率个数[10],非整周期截断或信号含有噪声干扰时时频谱泄漏导致一维谱频率分辨率急剧下降。作二维幅值谱的信号长度只要满足二维谱较佳表现力条件,就可得到频率分辨率高的二维谱,信号周期信息未知时,延长信号采集时间即可满足上述条件。对于信噪比低至-10 dB的含噪声正弦信号,在满足二维谱较佳表现力条件时,从其二维谱仍能清晰地判断信号能量集中的位置,且易知该信号仅包含一个频率成分,如图2所示。

(3) 可解读出更多信息

与一维谱相比较,二维谱不仅包含了频率、幅值信息,还包含了幅值随信号长度N的变换规律以及幅值随频率点k的变化规律。从不同角度观察二维谱可获得N,k及幅值各物理量之间的相互变化规律。

① 沿信号长度N方向纵切二维谱,即频率点k一定时,随着N的连续取值可得信号在某个频率点对应的幅值与信号长度Nе间的变化规律遵从|sinc|函数,如图3(a)所示。频率不同,对应的|sinc|函数大小及出现周期亦不同。对于单频信号,在采样信号的长度范围内N每变化一个周期里样本点数即T对应的长度时,|sinc|函数沿N轴做T长度的平移。

② 沿频率点k方向纵切二维谱,即信号长度N为定值时,即为经典幅值谱,如图3(b)所示。幅值与频率点k的变化规律不再赘述。

2 基于二维谱的正弦信号频率估计

根据二维谱理论依据,对信号序列做DFT,由变换后得到的数据做二维谱,观察二维谱并根据二维谱规律特征建立模板将信息点所在的k,N位置找出。信息点的位置坐标(k,N)二维数据在二维谱的k-N平面中表征信号的周期信息。在以频率点k为横轴、以信号长度N为纵轴的二维平面(以下简称k-N二维平面)中根据信息点的(k,N)坐标描出信息点,可获得一条由信息点组成的直线,称之为信号的频率直线,如图4所示,其物理意义如图5所示。实验发现,对有限长信号做DFT时,随着信号序列采样位置的变化,信息点的位置有规 律地发生变化,但信息点组成的频率直线的斜率不发生变化,即频率直线所包含的信号周期信息不发生变化,这是采用分析频率直线进而实现正弦信号频率估计的方法可靠性所在。下面依据此结论进行正弦信号频率估计原理的推导。

图2 时域波形及其一维、二维幅值谱分析

图3 幅值随信号长度的变化规律及不同截断方式下幅值随频率k点的变化规律

图4 正弦信号信息点示意图

图5 频率直线斜率的物理意义

设信号采集设备的采样频率为fs,信号采集时间为t,采集到的信号长度为M,那么有:

M=fst (3)

若设信号实际频率为f0,信号一个周期内样本点数为T,长度为M的信号中实际包含的周期数(可为非整数)为n,г蛴:

M=Tn (4)

t=n/f0 (5)

由式(3)~式(5)可推导出:

f0=fs/T (6)

式(6)即为正弦信号频率估计计算公式。可知,T的估计是实现正弦信号频率估计的关键。

在k-N二维平面中,N′表示频率直线起止信息点之间的信号长度,Δk表示起止信息点所占频率点k的范围差。则正弦信号一个周期里的样本点数TЭ杀硎疚:

T=N′/Δk (7)

设正弦信号的频率直线为y=Ax+B,如图5所示,易知其斜率A为N′/Δk,那么频率直线斜率AУ奈锢硪庖逦:正弦信号一个周期里的样本点数。则有:

A=N′/Δk=T (8)

故正弦信号频率估计公式亦可表示为:

f0=fs/A (9)

以上分析可知,要实现正弦信号的频率估计,只需求出频率直线的斜率然后将其代入式(9)即可。

3 实验及结论分析

表1为在满足二维谱较佳表现力条件下,对任意长度(相对于一维谱要不发生频谱泄漏而须满足信号整周期截断而言)、不同信噪比的正弦信号进行频率估计的实验结果。其中,N为做DFT的信号长度;T1为正弦信号一个周期里样本点数估计值;f1为正弦信号频率估计值;εf为频率估计的相对误差。不含噪声正弦信号的T=100、幅值为单位1、信号采样频率fs=100 Hz、信号频率f0=1 Hz。频率相对误差为│弄f=f0-f1/f0。具体频率估计精度及相对误差如┍1所示。由表1可知,对任意信号长度不为周期整数

的正弦信号进行基于二维谱的频率估计时,信号长度

N对频率估计精度无影响。频率估计精度随信号信噪比的增大而升高,当信噪比为-10 dB时,通过二维谱仍可准确地估计出信号频率,相对频率误差为0.026,而当信噪比不断增大时,相对频率误差不断减小,信噪比SNR≥6 dB时,相对频率误差降至0.006 6,并趋于恒定。这个恒定误差是由生成时域离散信号仿真软件的系统误差引起的,若不考虑上述因素,理论上本频率估计方法的相对误差可趋于零。

表1 不同信噪比下正弦信号频率估计及精度(T=100,幅值为1,fs=100 Hz,f0=1 Hz)

SNR /dB-10-8-6-4-2024681012

N950940930920910890906908912932946984

T1102.666 7102.333 3101.333 3101.666 7101.666 7101.000 0101.000 0101.000 0100.666 7100.666 7100.666 7100.666 7

f1 /Hz0.974 00.977 20.986 80.986 80.983 60.990 10.990 10.990 10.993 40.993 40.993 40.993 4

εf0.026 00.022 80.013 20.013 20.016 40.009 90.009 90.009 90.006 60.006 60.006 60.006 6

4 结 语

通过扩展传统DFT计算公式中信号长度N亦为变量,给出了能够突显出信号更多有用信息、具有一定抗噪声能力、频率分辨率高的二维谱。在信号长度满足N≥8T时二维谱具有较佳表现力和准确度。二维谱的应用可推广至多频信号的分析处理中,为信号的谱分析提供了一种新的频谱表征方式。本文给出的是一种以适度增大数据量为代价获得二维幅值谱,从而达到提高信号频率估计精度和稳定性的方法,为正弦信号的频率估计方法提供了一种新的参考思路。

参考文献

[1]祝俊,唐斌,陈真.快速高精度实正弦信号频率估计算法[J].电子测量与仪器学报,2008,22(6):65-69.

[2]QUINN B G. Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients[J]. IEEE Transaction on Signal Processing, 1994, 42(5): 1264-1268.

[3]RIFE D C, VINCENT G A. Use of the discrete Fourier transform in the measurement of frequencies and levels of tones[J]. Bell. Syst .Tech., 1970, 49(2): 197-228.

[4]FUNGA H W, ALEX C, KOTB K H, et al. Parameter estimation of a real signal tone from short data records[J]. Signal Processing, 2004, 84: 601-617.

[5]ZAKHAROV Y V, TOZER T C. Frequency estimator with dichotomous search of periodogram peak[J]. Electronics Letters, 1999, 35(19): 1608-1609.

[6]张松.基于FFT的正弦信号频率估算新方法[J].大理学院学报,2009,8(8):36-39.

[7]黄玉春,黄载禄,黄本雄,等.基于FFT滑动平均极大似然法的正弦信号频率估计[J].电子与信息学报,2008,30(4):831-835.

[8]胡广书.数字信号处理――理论、算法与实现[M].北京:清华大学出版社,1997.

[9]刘春艳,韩峰,梅秀庄.一种基于最小能量泄漏的信号周期估计方法[J].现代电子技术,2009,32(7):4-10.

[10]王刚,王艳芬,张晓光,等.关于离散傅里叶变换频率分辨率的讨论[J].电气电子教学学报,2006,28(6):18-20.