基于小波包的图像压缩及Matlab实现

(贵州大学 计算机科学与信息学院,贵州 贵阳 550025)

摘要:小波包是近年来的一个研究热点,在图像处理方面有着很广泛的应用。文中提出了基于小波包的图像压缩及Matlab实现方法,加快了图像压缩的进程,取得了很好的实验效果。将图像在小波包最优基下展开, 利用小波包最优基极好的空间、尺度定位性,使得图像的小波包变换系数在小波变换域极可能的集中从而使在不降低压缩信号的视频质量情况下, 提高了图像的压缩比。

关键词:小波;小波包;最优基;图像压缩;;Matlab

中图分类号:TP317文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)28-8050-03

Image Compression based on Wavelet Packet and Realization with Matlab

ZHANG Bo,ZHOU Wen-juan,YANG Xiao, XIONG Li

(School of Computer Science and Information,GuiZhou University,Guiyang 550025,China)

Abstract: Wavelet packet is becoming the focus of research.This paper gives image noise reduction based on wavelet packet and realization with Matlab.It quickens the process of image compression and gets a very good experiment result.The image is expressed as a linear combination of the best bases of wavelet packet.The energy of expansion coefficients is concentrated in a small number of coefficients because of the location properties of wavelet packet best bases.So it achieves high compression without any losses of visual information of the compressed image.

Key words:wavelet;wavelet packet;best basis;image compression;matlab

在分布式网络多媒体应用中,为了达到令人满意的画面和听觉效果,需要对视频信号和音频信号进行实时处理,因此对数据实现高保真,大压缩比的压缩是非常必要。数据压缩主要包含无失真压缩和有失真压缩两大类,无失真压缩是指图像数据经压缩后可以完全地得到恢复,复原后的图像和原始图像一致。而有失真压缩是指经过压缩后的图像数据在保持原图特征的前提下,不可避免地要丢失一部分不重要的图像原始信息。目前基于小波变换的图像压缩方法已经逐步取代了基于离散余弦或者其他子代编码技术,而成为新的图像压缩国际标准的首选方法。在小波包分析中,其信号压缩的算法思想和在小波分析中的基本相同,所不同的就是小波包提供了一种更为复杂,也更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解,具有更加精确的局部分析能力。

1 图像压缩简述

图像压缩是一个具有很大实际应用价值的问题。压缩中一个极其重要的方面就是变换压缩。所谓变换压缩,就是将原来信号进行变换(这种变换一般要求是可逆的,以保证变换后能进行恢复),希望变换后的信号具有比较特殊的结构,比如大量的信号数据非常接近零,这样,在量化数据时就会连续出现大量的零值,从而使必须记忆的非零数据个数很少,最终达到以极少的存储空间储存大量信息的目的。在变换压缩中,正交变换是其中重要得一大类方法。其基本思想是,在高维向量空间中选择恰当的正交基,使变换后的数据出现两个极端,要么非常小要么非常大,达到集中信息的目的。通常应用的变换方法有:傅立叶变换,余弦变换,小波变换等。小波包理论是小波变换的极其精彩的延伸,尤其是正交小波包。它(通过选择再分割的级别)为向量空间提供了大量的正交基,充分发挥了正交多分辨分析的思想,成功地解决了小波变换固有的“高频低分辨”问题,从而为图像的压缩提供了新的途径。

2 小波包的基本理论

2.1 小波包

给定正交尺度函数?准(t)和小波函数ψ(t),其尺度关系是

■

式中,hok、h1k是多分辨率分析中的滤波器系数。

二尺度方程的进一步推广,递推关系为

■

式中,hok、h1k是多分辨率分析中的滤波器系数。当n=0时,W0(t)=?准(t),W1(t)=ψ(t)。以上义的函数集合{Wn(t)},n∈Z为W0(t)=?准(t)所定的小波包,由此,小波包{Wn(t)},n=Z是包括度函数W0(t)和小波母函数W1(t)在内的一个具一定联系的函数集合。

2.2 小波包的正交性质

1)平移正交性

设函数族{Wn(t)},n∈Z为标准正交小波基尺度函数W0(t)=?准(t)所生成的小波包,也具有正交性,即有正交性,即

■

2)W2n(t)和W2n+1(t)的正交关系

W2n(t)和W2n+1(t)之间有类似与?准和小波函数ψ之间的正交关系。设函数族{Wn(t)},n∈Z为标正交小波基的尺度函数W0(t)=?准(t)所生成的小波包,它们之间的正交关系如下:

■

2.3 小波包的子空间分解

通过小波包分解,可以得到由尺度函数组成子空间和小波函数组成的子空间。由多分辨率分析得知尺度函数组成的子空间为{Vj},j∈Z小波函数组成的子空间为{Wj},j∈Z。

引入符号■

根据多分辨率分析,得■,

推广到小波包,有■

小波分解的一般表达式为

■

2.4 最优小波包的选择

小波包基库由许多小波包基组成,不同的小波包基具有不同的性质,能反应出信号的不同特征。图像的小波包分解,是投影到小波包基上,获得一系列系数,要用一系列系数刻画信号特征。首先要定义一个序列代价函数,然后在小波库的所有小波包基中找使代价最小的基。该基就是最优基。代价函数定义为关于序列的实函数M,可加性指如果满足M(0)=0和■,则称M为可加性的信息代价函数。

若代价函数M已经选定,最优基概念如下:

■

设x={xi}为空间V中的向量,记B为从库中选取的一个正交基,Bx是x在基B下的系数,对x∈V,若M{Bx}是最小的,则B为最优基。

下面介绍最优基的选择方法

如果正交基库满足下列条件:

1)基向量组成的子集等同于非负整数集 N的具有如下形式的区间

■

2)库中的每一个基对应于N的一个由Ink组成的不相交的覆盖。

3)若Vnk等同于Vnk+1,则

■

称此正交基库是一个二叉树结构。

如果库是一个二叉树,可以通过对K的归纳找到最优基。记Bnk对应于Ink向量基,An,k是X受限于最优基。

实际应用中,对VN做有限次分解。由小波包算法可以算出信号函数f(x)在各个子空间的系数,然后由M(x)可以计算出各层上系数的代价函数值。

3 图像的小波包压缩

小波包分析中,压缩的算法思想和An,k小波分析中基本相同,不同的是小波包提供了一种更为复杂、更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解,具有更加精确的局部分析能力。对图像进行小波分解时,可以采用多种小波包基。根据分析要求,从中选择最好的一种小波包基,即最优基。其选择的标准是熵标准。应用小波包分析对图像进行压缩处理是它的一个最基本功能。如下为图像小波包压缩的步骤。

1)图像的小波包分解,选择一个小波并确定所需分解的层次,然后对图像进行小波包分解。

2)确定最优小波包分解,对于一个给定的熵标准,计算最优树。

3)小波包分解系数的阈值量化,对于每一个小波包分解系数,选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。

4)图像的小波包重构,根据最低层的小波包分解系数和经过量化处理系数,进行小波包重构。关键是如何选取阈值和如何进行阈值量化。

利用小波包最优基进行图像压缩的算法框图如图1 所示。

4 MATLAB下图像压缩实验

本文实验中,利用MATLAB小波工具箱,以Shannon为代价函数,采用全局阈值处理方法,基于小波包的图像压缩效果如图2所示。相同阈值下,基于小波变换的图像压缩效果如图3所示。

在图2中,其中左图是原始图像,右图是基于小波包最优基,经过全局阈值压缩过的图像

压缩效率:

小波分解系数中置0的系数个数百分比:

perf0 = 37.4352

压缩后图像剩余能量百分比:

perfl2 = 99.9703

在图3中,其中左图是原始图像,右图是基于小波经过全局阈值压缩过的图像

结果如下:

小波分解系数中置0的系数个数百分比:

perf0 = 40.1967

压缩后图像剩余能量百分比:

perfl2 = 99.9616

在实验中,将小波包压缩效果与基于相同的小波压缩相比较,从图中和数据显示,我们可以看出小波包压缩优于小波压缩

5 结论

小波包对图像的分解确实是一种有效的视频分析工具,对图像采用多分辨率的分解方式,与人眼由粗到细,由全貌到细节的观察习惯相一致,同时编码的量化失真随机地分布在整幅图像中,人眼不易察觉,重建图像主观效果比较好,达到了压缩比高而失真度减少的目的。

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