基于紧束缚模型的双层石墨烯能带结构

摘 要 双层石墨烯是能隙可调控的半导体材料，由于具有奇特的电学性质和光学性质，因此，此类材料有望在光电子工业引起新的革命。本文采用紧束缚模型方法，给出双层石墨烯动量表象的哈密顿矩阵，数值计算了能带结构，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响。

关键词 双层石墨烯;紧束缚模型;能带结构

中图分类号：TP212 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）21-0022-01

石墨烯是由碳原子紧密堆积形成的平面六角晶格结构的二维材料，由于其具有丰富的物理和化学性质，而广受关注[1-3]。石墨烯在电子元件、晶体管、透明触控屏幕、光板、太阳能电池等领域具有潜在的应用。单层石墨烯的价带和导带交于狄拉克点，在狄拉克点附近，具有线性的色散关系。双层石墨烯同样是零能隙材料，但在狄拉克点附近是抛物线型色散关系。实验和理论都证明在双层石墨烯中外加垂直平面的电场会出现0.1-0.3eV的能隙[4-5]，这意味着双层石墨烯在电子及光电子工业中具有巨大的潜在应用。

本文从紧束缚模型出发，推导了双层石墨烯在动量表象形式下的哈密顿矩阵，计算了能带，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响，本文的推导及分析对双层石墨烯的实际应用具有一定的意义。

1 晶体结构和布里渊区

单层石墨烯原子堆积形式是六角蜂窝状结构，如图1左侧所示，每个原胞包含A、B格点两个碳原子，其实空间晶格基矢可取为，其中，为碳-碳键键长。连接最近邻碳原子之间（如图1左侧，中心A格点原子到最近邻的3个B格点原子）的3个矢量分别为。六角蜂窝格子的倒格子仍然为相同的形状，倒格子原胞基矢为，第一布里渊区形状如图1右侧所示，同样为六角蜂窝格子，其中高对称性的特殊点在动量空间中坐标为，不等价的和又称为狄拉克点。

图1 单层石墨烯的几何结构及第一布里渊区

图2 双层石墨烯结构图，左侧：平视图;右侧：俯视图

石墨烯是由单层石墨烯按AA堆积，或者是AB（Bernal）堆积形成。由于具有更低的能量，我们只考虑AB堆积形式，如图2所示，俯视图中第1、2两层的A格点原子正对，第1层B格点原子处于第2层六角晶格的中心位置。双层石墨烯格子的原胞和单层石墨烯相同，如图2俯视图中细实线菱形所示，但包含A1、B1、A2和B2格点处四个碳原子。其倒格子基矢和第一布里渊区与单层石墨烯相同，如前所述。

图3 石墨烯的能带图

2 紧束缚模型

我们只考虑最近邻原子之间的相互作用，双层石墨烯的紧束缚模型哈密顿量（二次量子化形式）为：

（1）

其中、、和分别是层内最近邻跃迁、层间A格点电子跃迁、层间B格点电子跃迁和层间A到B格点或B到A格点电子跃迁参数。表示最近邻格点，（或）表示在A格子中第层，位置处产生（或湮灭）一个自旋的电子，（或）表示在B格子中同样的定义。

利用傅立叶变换，和正交归一化条件，把实空间的哈密顿量变换成动量空间表象，则动量表象下紧束缚哈密顿量为：

（2）

对角化后得到哈密顿量的四个本征值。

3 结论

只考虑层内跃迁[6]时，，对应的四个本征值二重简并，得到的能带结构正是单层石墨烯的能带图，如图3a所示。可见能量较低的带和能量较高的带在狄拉克K点处相接，在狄拉克K点附近具有线性的色散关系。通过，可以计算狄拉克K点附近费米速度，这与其他理论结果[6]一致。该值相当于光速的三百分之一，描述在狄拉克K点附近的无质量的狄拉克费米子的运动行为，应该采用相对论性的狄拉克方程。

当考虑层间跃迁 ，而时，这种层间A-A之间的跃迁打破了单层石墨烯的空间对称性，使得其能带二重简并被解除，能带分裂成四条，能带分裂的程度正好是0.4eV，如图3b所示。此时，狄拉克K点附近的色散关系不再是线性的，而是抛物线二次型的，而且这时准粒子是具有质量的狄拉克费米子。

当同时考虑层间跃迁和[6]，而时，狄拉克K点附近的色散关系同样还是抛物线型的，能带分裂成四条，其中两条在该处相接。但在M点处，能量又发生简并，如图3c所示。

当同时考虑层间跃迁[6]时，层间A-B或者是B-A之间的跃迁打破了粒子-空穴对称性，化学势上下两侧的能带不再对称。

项目基金

安徽建筑大学校青年专项项目（编号：2011183-18）。

参考文献

[1]Sasat i K，Murakami S， Saito R 2006 Appl . Phys. Lett . 88 113110.

[2]Wang Z F， Shi Q W，Li Q X，Wang X P， Hou J G， Zheng H X， Chen J 2007 Appl . Phys. Lett . 91 053109.

[3]梁维，肖杨，丁建文.2001 物理学报57 3714.

[4]Wang Z G， Zhang P， Li S S， Fu Z G 2011 Chin. Phys. B 20 058103.

[5]王建军，王飞，原鹏飞，孙强，贾瑜.2012 物理学报61 106801.

[6]Castro Neto A H， Guinea F， Peres N M R， Novoselov K S， Geim A K 2009 Rev. Mod. Phys. 81 109.