曾经这样考查数列通项公式

编者按：数列是历年高考重点考查的内容，而数列的通项公式是数列的核心内容之一.有了数列的通项公式，我们就可以求出数列的任意一项及前n项的和等，因此求数列的通项公式是顺利解答数列题的突破口与关键点.如何才能突破数列通项公式的难点呢？从2012年高考对该考点的考查情况、求数列的通项公式的方法以及求数列通项公式时的易错点这三个角度来梳理一下思路，是非常有必要的.

考点一：等差数列通项公式的基本应用

例1 （2012年高考江西理科卷第12题）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= .

难度系数 0.75

分析 根据等差数列的性质，可知数列{an+bn}为等差数列，然后利用两个已知等式，可求得新数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得a5+b5的值.另外，考生也可直接设出两个等差数列的公差，然后利用整体思想进行求解.

解 （解法1）由等差数列的性质，可知数列{an+bn}为等差数列，设其公差为d，则有2d=（a3+b3）-（a1+b1）=14，即d=7.所以a5+b5=（a1+b1）+（5-1）d=35.

（解法2）设数列{an}，{bn}的公差分别为d，b.由a3+b3=21，得a1+b1+2（b+d）=21，即2（b+d）=21-7=14，所以b+d=7.所以a5+b5=a1+b1+4（b+d）=7+4×7=35.

小结 本题主要考查等差数列通项公式的应用、等差数列的性质、整体思想与转化思想的应用.解法1中考生易在确定新数列的公差或项数时出错，解法2中考生在将两个数列的公差和作为整体处理时易出错.

考点二：等比数列通项公式的基本应用

例2 （2012年高考全国新课标理科卷第5题）已知{an}为等比数列，a4 +a7 =2，a5a6=-8，则a1+a10=

A.7 B.5 C.-5 D.-7

难度系数 0.70

分析 解答本题首先要设数列的公比为q，然后将两个已知等式转化为关于a1与q的方程组，求出a1与q3的值，最后利用通项公式求得a1+a10的值.

解 设等比数列{an}的公比为q，则由a4 +a7 =2，a5a6=-8，得a1q3+a1q6=2，a1q4・a1q5=-8，解得a1=1，q3=-2或a1=-8，q3=-■.当a1=1，q3=-2时，a1+a10=1+1×（-2）3=-7；当a1=-8，q3=-■时，a1+a10=-8+（-8）×（-■）3=-7.选D.

小结 本题主要考查等比数列通项公式的应用以及考生的运算求解能力.解答本题的常见易错点主要有：①错误利用等比数列的性质，误认为a4 +a7 =a5+a6；②不求q3的值而求q的值，易在计算上产生错误.

考点三：求等差数列的通项公式

例3 （2012年高考湖北理科A卷第18题）已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.

（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.

难度系数 0.70

分析 解答本题的第（Ⅰ）问，我们需要设等差数列的公差为d，然后根据等差数列的前三项的和与前三项的积，建立关于a1与d的方程组，通过解方程求得a1与d，最后求得等差数列的通项公式.

解 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则有a2=a1+d，a3=a1+2d.

根据题意得3a1+3d=-3，a1（a1+d）（a1+2d）=8，解得a1=2，d=-3或a1=-4，d=3.

所以，由等差数列的通项公式得an=2-3（n-1）= -3n+5或an=-4+3（n-1）=3n-7.

故an=-3n+5或an=3n-7.

（Ⅱ）解答过程省略.

小结 本题的第（Ⅰ）问主要考查等差数列的通项公式的应用，以及方程思想、转化思想的应用.本题的第（Ⅰ）问是关于等差数列的基本运算问题，解答时的易错点可能出现在方程的建立与计算上.

考点四：求等比数列的通项公式

例4 （2012年高考辽宁理科卷第14题）已知等比数列{an}为递增数列，且a25=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an = .

难度系数 0.65

分析 思路1：设等比数列的公比为q，然后根据两个已知等式建立关于a1与q的方程组，通过解方程求得a1与q，最后求得等比数列的通项公式.思路2：首先利用等比数列的定义，由2（an+an+2）=5an+1求得公比q，然后利用a25=a10求得首项a1，进而求出通项公式.

解 （解法1）设等比数列{an}的公比为q，则由a25=a10，2（an+an+2）=5an+1，得（a1q4）2=a1q9，2（a1qn-1+a1qn+1）=5a1qn，解得a1=2，q=2或a1=■，q=■.

由于等比数列{an}为递增数列，所以a1=2，q=2.所以数列{an}的通项公式an=2n.

（解法2）设等比数列{an}的公比为q，将2（an+an+2）=5an+1的两边同时除以an，得2（1+q2）=5q，解得q=2或q=■.

由于等比数列{an}为递增数列，所以q=2.

又a25=a10，得（a1・24）2=a1・29，解得a1=2.所以数列{an}的通项公式an=2n.

小结 本题主要考查等比数列的定义、通项公式以及转化思想和方程思想的应用.本题是关于等比数列的定义与通项公式的基本运算问题，考生在解答时易忽视已知条件中隐含的条件，即公比q>1，从而造成多解.

考点五：利用an与Sn的关系求通项公式

例5 （2012年高考广东文科卷第19题）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈■.

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.

难度系数 0.45

分析 本题的第（Ⅰ）问可以利用a1=S1=T1来求解.本题的第（Ⅱ）问当n≥2时，考生可以首先利用Sn=Tn-Tn-1得到关于数列{Sn}的递推公式，此时有两个思考的方向：①利用an=Sn-Sn-1得到关于数列{an}的递推公式，构造等比数列{an+2}，通过求其通项公式即可得到数列{an}的通项公式；②构造等比数列{Sn+2n+3}，由此可求得{Sn}的表达式，再利用an=Sn-Sn-1求得数列{an}的通项公式.

解 （Ⅰ）当n=1时，T1=2S1-1.由于T1=S1=a1，所以a1=2a1-1，解得a1=1.

（Ⅱ）当n≥2时，Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-（n-1）2]=2Sn-2Sn-1-2n+1，所以Sn=2Sn-1+2n-1.①

（解法1）由等式①，可得Sn+1=2Sn+2n+1. ②

②-①，得an+1=2an+2.所以an+1+2=2（an+2），即■=2（n≥2）.

又a1+2=3，a2+2=6，则■=2，所以数列{an+2}是以3为首项、2为公比的等比数列.所以an+2=3・2n-1，即an=3・2n-1-2，n∈■.

（解法2）由等式①，可得Sn+1=2Sn+2n+1，则有Sn+1+2（n+1）+3=2（Sn+2n+3），即■=2.而S1+2×1+3=6，所以数列{Sn+2n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列.所以Sn+2n+3=6・2n-1，即Sn=6・2n-1-2n-3.

所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6・2n-1-2n-3-[6・2（n-1）-1-2（n-1）-3]，即an=3・2n-1-2，n∈■.

小结 本题主要考查an与Sn的关系，等比数列的定义和通项公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、方程等数学思想，考查考生的逻辑思维、运算等基本能力.本题如果没有第（Ⅰ）问，考生易忽视n=1的情况，同时在上面两种解法中对递推数列的转化是一个难点，同时也是一个易错点.因此，考生在复习备考时要强化对递推数列的训练.

考点六：数列通项公式与其他知识的交汇问题

例6 （2012年高考安徽文科卷第21题）设函数f（x）=■+sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn.

难度系数 0.55

分析 首先根据已知函数求出导函数f ′（x），然后根据f ′（x）>0与f ′（x）

解 （Ⅰ）由f（x）=■+sin x，得f ′（x）=■+cos x=0，解得x=2kπ±■（k∈Z）.

由f ′（x）>0，可知函数的递增区间为（2kπ-■，2kπ+■）（k∈Z）；由f ′（x）

所以，当x=2kπ-■（k∈Z）时，f（x）取得极小值.由xn是f（x）的第n个极小值点，可知xn=2nπ-■（n∈■）.

（Ⅱ）解答过程省略.

小结 本题的第（Ⅰ）问主要考查数列的通项公式，三角函数、导数与极值的关系等知识.考生在解答时可能会在以下两处出现错误：①求解不等式f ′（x）>0与f ′（x）

慕泽刚，中学数学高级教师，重庆市数学学会会员。从事高中教学21年，先后带完高中毕业班13届，学生的高考成绩突出。先后在《高中生》等30余家国家级和省级报刊上发表文章3 000多篇，被多家报刊数次评为“优秀作者”。主编、参编教辅书籍18部。

（责任编校？筑周峰）