基于Leslie模型的人口增长预测与研究

摘 要：随着社会的发展，人类生活水平的不断提高，人口数量在不断的增长。由于地球的资源有限，随着人口的增加，人与人的矛盾日渐突出，人口问题已成为当今世界最备关注的问题之一，当然人口增长规律的探究以及对人口总量的预测在一个国家定制长远的发展规划上面有着非常重要的价值。

关键词：人口；人口模型；人口增长；Leslie模型分析

引言

人口增长模型是人口发展过程的定量推测，需要推测出在未来的人口增长趋势。通过对Leslie人口模型的更细的结构化，再通过历年的统计数据可以拟合求出未来的人口总数据、人口的性别比例、年龄比例和城镇农村的城乡构成，还有未来人口中劳动力比例人们的抚养水平及老龄化比例，从而可以指定政策来进行宏观调控。决定人口增长的要素为出生率、死亡率和上一年的人口数，但人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动，从而从根本上影响人口的增长。由于对世界人口的研究，每个时间段的世界人口没有人口的流动，故可以认为世界人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，计算人口中数时没有迁入迁出这个因素。所以某时刻人口总量=人口基数+新生人口数-死亡人口数。随着社会的不断发展，人们的生活质量得到了不断地提高，人口增长模型也不断地发生着改变。从最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型，世界的人口增长随着社会的发展在各个时期都发生着不一样的变化。有些时候人口增长模型也会因为各国的国情而发上变化。

1 人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766--1834）

1.1 模型假设

时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r。以N（t）表示t时刻某地区（或国家）的人口数，假设人口总数N（t）足够大，可以视做连续函数处理，且N（t）关于t连续可微。

1.2 模型建立及求解

显然此时人口数随时间呈指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）。

1.3 模型检验

19世纪以前对于欧洲一些地区的人口统计数据与人口指数增长模型可以很好的契合。19世纪以后的许多国家，模型出现了很大的误差。

注意到，地球资源是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该给以修正。

1.4 模型讨论

为了做进一步的讨论， 阐明此模型组建过程中所做的假设和限制非常必要。

把人口数量仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄，性别，大小等）对人口增长的影响。

假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。

人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的环境当中。

模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。

不难看出，这些假设是苛刻的，不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。

2 阻滞增长模型（Logistic）

一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在--或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。在指数增长模型中，我们只考虑了人口数量本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源，环境条件等因素）。随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。许多国家的实际情况都是如此。定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。

2.1 模型假设

因为地球资源是有限的，假设为一个定值1 （这里事实上也内在的假定了地球的极限承担人口数为1）；

在t时刻，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单方便也假设与当时剩余资源成正比；比例系数表示人口的固有增长率；假设人口总数N（t）足够大，可以视做连续变量处理，且N（t）关于t连续可微。

2.2 模型建立及求解

由模型假设，可将人口数的净增长率视为人口数N（t）的函数，由于资源对人口增长的限制，应是N（t）的减函数，特别是当N（t）达到极限承载人口数时，应有净增长率，当人口数N（t）超过时， 由于受到资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，不会一直呈现指数增长，再次引入常数Nm，用来表示自然资源和环境条件下所能容许的最大人口数量。此时的人口增长率得到修正，修正的人口自然增长率为：

在这个模型中，考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）。

2.3 模型检验

2.4 模型讨论

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来处理较长时期的人口预测，而指数增长模型在处理人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。

3 Leslie人口模型

3.1 模型的建立

Leslie模型是将人口按年龄大小间隔地划分成m个年龄组（比如以每10岁为一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为。设在时间段t第i年龄组的人口总数为ni（t），i=1，2，…m，定义向量n（t）=[n1（t），n2（t），…nm（t）]T，模型要研究的是女性的人口分布n（t）随t的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第i年龄组的生育率为bi，即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为di，即di是单位时间内第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，si=1-di称为存活率。设bi、si不随时间t变化，根据bi、si和ni（t）的定义写出ni（t）与ni（t+1）应满足关系：

只要求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n（0），就可以求出t时段的人口分布向量n（t）。

3.2 模型的讨论

现如今人们对于人口模型的要求已经不单单的只是它能求出人口总数而已。在人口预测中经常需要知道各年龄段的人口，在当今社会中这个比人口总数更加有用。例如， 通过不同年龄段的人数，来进行对城镇房屋的建设、学校、医院等福利设施的数目、地点设置等。这些都可以通过Leslie人口模型检点且准确地做到。此方法适用于物种、动物种类繁衍预测。

4 结束语

随着人类对问题的更加广泛的研究人口模型不断的变换，产生了不同的类别，但这些模型终究是围绕着某时刻人口总量=人口基数+新生人口数-死亡人口数+/-迁入/迁出数来得到的。对于不同部分的拆分能求出不同的结论能运用到不同的实际条件中，从而可以写出应对方法。

参考文献

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[5]方亚玲.对人口模型的研究[Z].2000（05）.

作者简介：侯焱 （1993-），男，辽宁省大连市人，辽宁工程技术大学理学院在读学士。