双向压弯构件的弯矩放大系数

摘要：现今规范中的双向压弯构件的稳定验算公式是一个半经验半理论的公式，其中的弯矩放大系数套用了平面内的弯矩放大系数，本文采用理论推导和有限元并用的方法，对双向压弯构件的弯矩放大系数作了一定的研究。

关键词：双向压弯;弯矩放大系数;极限承载力;平面内;平面外;能量法;修正系数 Abstract: The formula calculating the stability of the current biaxial bending in the specification of 1.5 empirical formulas, the moment amplification factor to the bending plane of the amplification coefficient, this paper uses the method of theoretical derivation and finite element and use of biaxial bending, bending moment amplification coefficient are studied.

Keywords: biaxial bending; bending moment amplification coefficient; ultimate bearing capacity; plane; plane; energy method; correction coefficient

中图分类号： TU391文献标识码：A文章编号：

背景和来源

我国的钢结构设计规范GB50017—2003中只规定了双轴对称实腹式工字形(含H形)和箱形(闭口)截面的双向压弯构件的稳定验算设计公式:

(1.1a)

(1.1b)

式中: ,--对强轴x—x和弱轴y—y的轴心受压构件稳定系数;

,--均匀弯曲的受弯构件整体稳定性系数;

规范里的公式是通过一些截面的试验结果的相关曲面得出的不完全统计,是一个半理论半经验的公式。x和y方向的弯矩放大系数都是套用平面内的弯矩放大系数，而双向压弯构件三个未知量u 、v、，扭矩对u 、v有没有影响并没有理论依据。其他国家如美国、日本等国的规范也大都建立在来自实验数据的极限承载力相关曲面的分析上，未必适用所有情况。

双向压弯构件弯矩放大系数的弹性理论分析

图2.1开口薄壁截面双向压弯构件受力图

构件的总势能是应变能和外力势能之和。由于构件的压缩应变能和剪切应变能的影响极小，故可忽略不计。这样应变能包括了平面内的弯曲应变能、侧向弯曲应变能、纯扭矩应变能、翘曲应变能四个部分。

可以得到构件总势能的表达式为(2.1)求解双向压弯弹性理论解时，使用下列计算假定： （1）构件无初始变形，不计算初挠度； （2）忽略剪切和轴向变形； （3）构件变形后刚周边假定；（4）小变形假定； （5）材料线弹性假定；

（6）考虑残余应力影响； （7）构件两端简单支承；

（8）构件两端弯矩相应轴承受弯矩对应相等。根据势能驻值原理，有，可得到

（2.2a） （2.2b） （2.2c）

代入边界条件，，，

（端部翘曲自由）和 （2.3a）

（2.3b）得到双向压弯构件的弹性理论全解为：

当时的情况下的理论解

（2.4a）

（2.4b）

（2.4c）

其中

是方程

(2.5)

的根。

当时的情况下的理论解

（2.6a）

（2.6b）

（2.6c）

其中

（2.7a）

（2.7b）

（2.7c）

三、弯矩放大系数影响因素分析

双向压弯构件是根据x方向的弯矩平衡方程，y方向的弯矩平衡方程，和扭矩平衡方程，耦合来求解极限承载力的，它不仅包含了扭转系数（，，，，，）的影响，而且三个方程是耦合的，也就是说，x方向，和y方向的参数是相互影响的，所以扭转系数，外力P，，构件长度L对弯矩放大系数都可能有影响。

本文通过matlab做理论解的数值计算，和ansys有限元分析的方法，对影响弯矩放大系数的影响因素逐个分析比较。

首先通过与前人分析数据分析数据的比较，来验证本文推导的双向压弯构件弹性理论解和自编matlab程序的正确性。

Culver和Prawel文献中的截面参数如下:

表3.1文献中所用的截面参数

表3.2与Culver文献中的数据比较

3.2与Prawel文献中的结果比较

表3.3与Prawel文献中的数据比较

从表格中我们可以看出，本文的计算方法和culver和Prawel文献中得出的数据相差很小,说明了本文的理论推导和计算方法的可行性,计算方法具有很高的精度.

3.3弯矩放大系数的影响因素分析

这里采用相同的截面尺寸和构件长度L=9米

表3.4计算所用截面参数

3.3.1 对弯矩放大系数的影响

令＝＝0.1,即＝29.5，＝6.5

表3.5只有P变化时的弯矩放大系数

可见对,的影响极小, 从0.1~0.7变化(当=0.8时, >f=215,以下例子类同), 变化仅为0.1%，变化为2.3%，完全可以忽略。变化也仅为1.7%，说明翘曲应力占总应力的比重很小。

3.3.2 对弯矩放大系数的影响

令＝0.1, ＝0.3，即＝6.5，＝236

表3.6只有变化时的弯矩放大系数

对的影响不大，也就是对平面内弯矩的放大基本没有影响，但对平面外弯矩放大系数影响很大，最大达到56%，所以对总应力也造成比较大的影响19%。

3.3.3 对弯矩放大系数的影响

令＝0.1, ＝0.3，即＝29.5，＝236

表3.7只有变化时的弯矩放大系数

对平面外弯矩放大系数的影响极小，只有1%，对平面内弯矩放大系数没有影响。对总应力的影响也极小，最大为2%，可以忽略。

3.3.4 L对弯矩放大系数的影响

仍然采用前面400×250的截面，使长度变化，分别为3000，6000，9000，12000，算出弯矩放大系数。

令=＝0.1, ＝0.3，即＝29.5，＝6.5，＝236

表3.8只有L变化时的弯矩放大系数

L对弱轴的弯矩放大系数，总应力影响可以达到12%，在快达到承载力极限的时候影响尤为明显。

3.3.5 对弯矩放大系数的影响

改变截面的,需要改变截面的高宽比，研究对弯矩放大系数有何影响。

因为太大，会对造成影响，所以＝＝0.1, ＝0.3都为外力与各自极限轴力和弯矩的比值。

表3.9计算所用截面参数

对以上三种截面，不同的弯矩放大系数的计算结果如下:

表3.10 只有变化时的弯矩放大系数

对弯矩放大系数的影响很小，在2%左右，可以忽略。 越小，截面扭转越大，翘曲应力增大。但是的增幅只有3%，再次说明翘曲应力占总应力的比重很小。

3.3.6 对弯矩放大系数的影响

改变截面的,需要改变截面的厚度,,研究对弯矩放大系数有何影响.

表3.11计算所用截面参数

表3.12只有变化时的弯矩放大系数

可以看出对弯矩放大系数的影响也很小，不到2%，增大，自由扭转减小，扭转角度减小，翘曲应力减小，但是总应力变化较小只有3%，可以忽略。

四、对和的影响拟合曲线

4.1 研究对的影响

要对无量纲化，取,因为可能出现x方向弯扭屈曲荷载大于塑性弯矩，或者弯扭屈曲荷载小于塑性弯矩的情况，故对下面钢结构材料手册中两组截面进行研究。截面1,2,3,为塑性弯矩小于弯扭屈曲荷载的情况，为不可能发生平面外屈曲的情况；截面4,5,6为塑性弯矩大于弯扭屈曲荷载，即可能发生平面外屈曲。

作用荷载取=0.1, =0.1

表4.1计算作用截面参数

表4.2第一类截面中对弯矩放大系数的影响

从表格中可以看出，对于不会发生平面外弯扭屈曲的情况下，当不是很大，最大为8%时，构件发生边缘纤维屈服。所以在的情况下,可以不考虑对的影响.

表4.3第二类截面中对弯矩放大系数的影响

对以上数据拟合公式:

当>时,

=

图4.1 Mx对的影响曲线

4.2 研究对的影响

对于第一类截面:

表4.4第一类截面中L对弯矩放大系数的影响

L对的影响在5%以内，可以忽略。

对于第二类截面:

表4.5第二类截面中L对弯矩放大系数的影响

根据数据拟合公式如下:

=

图4.2对的影响曲线

五、结语：

当>，即平面外抗弯刚度较弱，可能发生平面外屈曲的截面，和L对的增大系数不可忽略

令=，=

则双向压弯构件的稳定验算公式修正为:

(4.10)

参考文献：

[1] Culver.C.G “Exact Solution of the Biaxial Bending Equations.” Journal of the Structural Division,ASCE.Vol.92 No.ST2.Proc.Paper 4772,pp.63-83.April.(1966a)

[2] Prawel. S.P “Biaxial Flexure of Columns by Analog Computers,” Journal of the Engineering Mechanics Division. No. EM1. Proc.Paper 3805, pp.83-111. February. (1964)

[3] 中华人民共和国国家规范,钢结构设计规范（GB50017-2003）,中国计划出版社

[4] 吕烈武.沈世钊等,钢结构构件稳定理论,北京:中国建筑工业出版社, 1983

[5] 夏志斌.姚谏,钢结构(第二版),中国建筑工业出版社,2004

[6] 陈骥,钢结构稳定理论与设计(第二版),科学出版社,2003

[7] 中华人民共和国国家规范,冷弯薄壁型钢结构技术规程 GBJ18-87.

[8] 陈惠发.梁柱分析与设计.人民交通出版社.1997

[9] 童根树.钢结构的平面内稳定. 中国建筑工业出版社.2005