数学模型在高等数学教学中的应用

【摘 要】本文首先简要说明了在高等数学教学环节中引入数学模型的必要性;接着提出具体的引入和应用过程;最后以导数的应用为教学内容，面对动物科学专业引入相应的数学模型。

【关键词】高等数学 数学模型 案例设计

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）33-0052-02

一 在高等数学教学中引入数学模型的必要性

一般高等院校都会在大学一年级给学生开设高等数学课程，目的在于让学生学习掌握高等数学的基本理论、思想和方法，提高逻辑思维能力，为后续其他课程的学习奠定必要的数学基础。

高等数学的课程内容涉及面广、知识体系严密稳定，需要较多的学时才能完成教学。在当前高等数学课程普遍被压缩课时的情况下，要想完成所有理论内容的教学，几乎是不可能的。即使采取纯说教的教学方法，也只可能出现教师竭尽全力地讲，学生却难以接受足够的信息的情况;甚至随着时间的推移，出现教师因为教学效果不好而倦怠，学生因为学习效率低下而产生厌学的情况。

现有的研究表明，通过在教学中引入和利用数学模型，可以很好地解决上述的问题。适当地引入一些与学生专业背景相关的数学模型，重现该模型的构造过程，体现数学在这方面的应用性，既能激发学生的学习兴趣，又能切实地提高学生的动手能力。

二 在高等数学教学中引入数学模型的过程

那么，应该怎样在教学中引入数学模型呢？笔者提出了以下的引入和应用过程：

数学模型的引入和应用过程示意图

1.根据教学大纲，明确教学内容和目标

教学应按照教学大纲的要求有序地开展，才能取得较好的教学效果。为此，教师首先要参考教学大纲，提炼出可以设计引入数学模型的教学内容，并确定具体的教学目标。不能为了引入数学模型，而脱离了教学大纲的要求;更不能无中生有，在课时已经非常紧缺的情况下，安排与教学大纲要求无关的教学内容。

2.了解学生的专业背景

要遵循面对不同专业背景，尽量选取不同的数学模型的原则。不能简单地设计出一个物理背景非常浓厚的数学模型，就面向各个专业的学生进行教学。教师要做的是因不同的专业需要来构建不同的模型。所以在选取相关素材和建立模型前，一定要充分了解掌握学生的专业知识、专业需求等背景，以确定选取的范围。

3.选取相关的素材

同一个教学内容，面对同一个专业，可以选取的素材可能会有多个。一个好的素材以学生熟悉度高、建模过程容易实现、可重复性强为标准。

4.设计相应的数学模型，制订教学计划

一旦确定了素材，就可以开始建立相应的数学模型。教师应该完成一个完整的建模过程，熟悉其中的关键环节，以利于教学中引导学生思考。模型准备的过程中，应同时考虑教学如何进行，制订可行的教学计划。

5.教师讲解，引导学生建立模型

该环节是教学实施阶段，也是最为关键的环节，可以由教师独立演示完成，也可以师生互动合作完成，还可以是教师讲解引导，学生自主完成。无论采用哪种方法，都应该引导学生参与其中，或者思考，或者动手操作。只有这样才能达到教学目的。

6.师生互动，讨论评价模型

这一阶段可以灵活掌握，按课堂教学进度和效果安排。通过探讨模型的建立过程，可以帮助学生梳理将所学知识点应用在建立模型中的过程，提高学生对如何将理论知识应用到实际的认识，增强学生对数学的认同感。通过评价模型，可以引导学生学会简化问题进行求解，同时从中发现全面考虑问题的重要性。

三 在高等数学教学中引入数学模型的案例设计

下面以导数的应用为教学内容，面对动物科学专业引入相应的数学模型。

第一步，根据教学大纲要求，本节课的教学内容是举例说明导数的应用，目标是通过教学，让学生学习掌握微元法的思想，了解导数在实际中的应用。

第二步，教学班的学生的专业是动物科学。通过咨询和检索，可以知道该专业的学生主要学习动物生产与管理、动物遗传育种、动物繁殖、动物营养与饲料等方面的基本理论和基本知识，与此相关的问题都是备选的素材。

第三步，针对学生的专业背景考虑到学生对细菌繁殖这一现象既有较大的兴趣点，可以吸引学生，又可以用经典的马尔萨斯模型进行粗略的描述，确定以“利用导数的意义，建立方程，描述细菌繁殖”为主题，进行建模。

第四步，参考马尔萨斯模型，选取酵母菌繁殖过程为例，进行建模，得到一个描述该过程的数学模型。由于数据充足可信，易于检验模型，且建模过程较简单，在制订教学计划

时，选取师生互动合作完成的教学方法，并确定具体的实施环节。

第五步，教学实施阶段。首先回顾导数的定义和本质，简介微元法的思想方法，强调“当出现变化率时，就可以考虑应用导数解决相关的问题”。其次，提出如何描述酵母菌繁殖的过程的问题。再次，根据数据引导学生发现其中的变化规律，提炼出“变化率”，最后，让学生尝试独立建立模型，完成整个建模的过程。

第六步，教师给出事先建立好的数学模型，并进行数据分析验证，与学生建立的模型做对比。与学生探讨导数和微元法是如何体现和应用的，所得到的模型哪些方面与实际情况比较吻合;有哪些方面的缺点，如没有考虑哪些因素，不能描述什么样的情况等。如果教学进展顺利剩余时间充足，就适当加入改进模型的讨论。如果时间不足，就在最后进行总结完成整个教学。

参考文献 [1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007 [2]姜启源、谢金星、叶俊编.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011