对优秀讲题案例的策略阐释

讲题既是有效教学的重要途径，又是有效教研的重要形式.常规教研更注重教材的处理，题的研究不是主线，而讲题抓住了有效教学的龙头，将学习任务分割为循序渐进的递进阶段.教师讲题的基本操作，就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，并视学生的基础、能力、时间和环境的许可、引申发展的需要，决定详讲或略讲.本文就广州市初中数学讲题比赛中出现的一些优秀案例，分析其共同特性，阐释解题策略，为提高教师讲题能力做一些尝试.

1 共性分析

1.1 精心准备是讲题成功的基础

精心准备是讲好题的基础.参赛教师从讲演稿、穿着、讲题的表情、动作等都准备得十分充分，而且在对学生认知结构的分析也比较到位.注意了：学生已经理解、掌握的内容不需多讲；学生虽了解但随着数学学习的不断深化和要求的提高，需指导的讲；学生理解不深，掌握不熟练的内容只做稍加点拨的讲；还属于难点的知识需精心的讲.懂得通过对知识体系的归纳整理来突显重点知识在整个知识体系中的重要地位，以达到突出重点的目的.

1.2 提高技能是精彩讲题的手段

在优秀讲题案例中，教师在教学语言技能方面表现出正确恰当、清楚易懂、生动形象.正确恰当就是语言、语调、用词的恰当，内容有根有据，正确无误.清楚易懂就是简洁明了，表达清楚，层次分明，逻辑性强.生动形象就是浅白易懂，没有平铺直叙，语言流畅，有声有色，活灵活现.不少教师巧妙制造讲题氛围，通过丰富的表情、抑扬顿挫的语调加上适当的动作，滔滔不绝，越讲越有状态，听众越听越起劲.

1.3 策略运用是突破难点的关键

与讲题过程密切相关的是选择什么策略突出重点，解决难点.教师十分重视突出数学概念、公式、定理运用过程的呈现，侧重突出内容各要素及其间的关系，从而达到突出重点的目的.对由于知识内容比较抽象而学生经验又较少而形成的难点，教师能辅以模型、图表、具体操作等直观形象，以适当降低抽象度，不断丰富学生的经验，逐步提高学生抽象思维能力.在这一过程中，教师还注意对“具体”程度的控制，不用太平常的“具体”背景，以有利于学生突破难点.

2 策略阐释

讲题重点是讲解决问题的策略，数学题目的解决策略，是指探求数学题目的答案时所采取的途径和方法.方法是有层次性的，题目解决的策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识.

2.1 后推法策略

后推法策略是从属于数学学习方法的具体学习策略.数学问题常是要求学生利用已知条件，来求解未知条件的数量，或证明未知条件的成立.这一过程主要是采取顺向的逻辑推理方法，而顺向方法的缺点是若思维方向不明确，容易使学生一旦走向不正确的思维方向时，就会迷失方向.而后推法是从问题出发，向已知方向推导.当从未知向已知的联系建立起来时，问题往往变得比较容易解决.[TPwjh-1.tif，Y][TS（][JZ][HTK]图1[TS）]

例1 （源自人教版教材九年级上册P97页例2）如图1，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.

策略阐释：

第一步，弄清问题，拟定计划.先让学生自己分析，题目的关键点是隐含了三个切线长定理的基本图形.学生虽然学习了切线的相关知识，能较轻松解决切线长定理的基础题，但部分学生对刚学的切线长定理没有达成迁移的目标，同时，本题是代数与几何的综合题，往往让学生不能很好的把知识连贯起来.因此，站在学生的角度去讲题，在不同时机上采取针对学情的问题解决策略.

第二步，实现计划，向已知方向推导.本题侧重于切线长定理应用，是运用方程思想、转化思想等根据图形特征设未知数列解方程（组），是一道利用几何图形性质，采用代数方法解题的计算题.难点在于图形中的等量关系；例如，在讲原题前，通过抽取三个基本图形有效地复习切线长定理进行知识铺垫（题1-3），目的是降低学生寻找“AE=AF，BD=BF，CE=CD”这些相等线段（规律）的难度.

题1：图2，BF、BD分别是O的切线，切点分别为F、D，图中有哪些相等的线段？

题2：图3和4中分别在图1的基础上增加了一条切线AC，图中有哪些相等的线段？

利用这样的方法进行教学，既是帮助学生对过去内容进行复习，也体现了课标要求的螺旋式上升，在分析题目时注重了学生的原有认知，训练学生学会从题目所给的图中找基本图形，把复杂的图形分拆成熟悉的简单图形，即把图1中的线段BC隐去，回到例1的基本图形.等等.这样就把新课程标准提出的十个核心概念融入解题教学中，以达到引导和暴露学生思维的功效.

2.2 问题探究策略

以问题为起点进行探究策略是从属于数学元认知的具体学习策略.该策略强调知识的过程性，希望学生产生对问题的质疑，激发提出新问题的探索研究，最简单的情况就是各类方程概念的学习.教师只是帮助学生利用这种混淆作为提出问题和数据分析的起点，通过不断辨别，达到正确理解.

例2 人教版七年级上册P99第10题）甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米.求A、B两地间的距离.

策略阐释：

第一步，先对题目涉及的知识点作了分析，指出要根据题目已知条件，画出示意图；设未知数，用含未知数的代数式表示题目中的未知量；根据所找到的等量关系列出含常数分母的一元一次方程，解含有常数分母的一元一次方程，检验解的合理性.由于学生在文字理解上和行走路线与时间的感觉较为抽象，因此利用动态课件（如图6）结合线段图把两次相距36千米的情况表示出来.

[TPwjh-3.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图6[TS）]

第二步，说明本题的是如何理解题目中两次出现的“36千米”的意义与不同，根据行程问题的三个量（速度、时间、路程）的关系式，利用题目的已知条件，画出示意图，找出本题隐含的等量关系进行列方程解答.关键点是，通过设计学生亲身参与的示范活动和课件动画展示，让学生理解题目两次出现的“36千米”的不同意义，从而能较为准确的画出示意图进行等量关系的挖掘和表示.等量关系的挖掘上，让学生明确这是行程问题，关键是找到甲乙两人的速度、时间、路程的表达式，以及他们之间的数量关系.

第三步，在黑板写下学生找到的关键字词和已知数字所表示的意义（关键字词：相向而行、同时出发、两人都匀速前进.时间：第一次两个小时，第二次两个小时；路程：出现两个36千米；速度：题目没有明确给出）

第四步，对于题目两次出现的“36千米”意义之不同，在学生画出示意图来帮助找到等量关系的思考过程中，针对部分学生会提出，这道题根本不需要列方程计算，可以使用算术方法解决，作了分析.第二个36千米代表两个人2个小时一共走了72千米.那A、B两地的距离就是两人第一次两个小时的路程加上他们相距的第一个36千米的和，即36+72=108.那根本不需要列方程就可以解决问题.

第五步，反思：读题时注意找准关键字眼，从题型涉及的量的意义来考虑如何表达每个量.有效使用示意图这个解题工具，能很好的把相关量之间关系清晰表达出来.2.3 算法策略

算法策略是从属于学习过程调节和控制的具体学习策略.该策略能指明具体的解题步骤，直至获得问题的最终答案.本策略主要运用于较复杂的方程综合题.这里的“算法”就是指解题的一套规则和步骤.如果一个问题有算法，那么只要按照其规则进行操作，就能获得问题的解.

例3 （八年级上册P138页第10题）已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设OPA的面积为S.（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围.

策略阐释：

第一步，难点分析，根据题目要求，画图，尤其是为什么要画图，怎样确定动点P的位置.从所求的函数关系式出发，思考如何能列出自变量为x的以三角形面积为因变量的函数关系式.自变量的取值范围的确定.关键点分析，让学生懂得画图解题，是个突破口.与讲题过程密切相关的是突出重点、突破难点的策略.教师选手们十分重视突出重点：突出数学概念、公式、定理的运用过程的呈现，侧重突出概念、公式、定理中的各要素及要素间的关系，从而达到突出重点的目的.学生也容易明确引入新知识的目的，以及新旧知识间的联系和区别.

第二步，本题对图像与方程间知识过渡转折过急而形成的难点，由具体数字过渡到抽象符号、由常量过渡到变量、由有限过渡到无穷、由点过渡到平面，都要经历一个突变的过程，学生思维一时转不过弯，难以适应这种变化.

怎样确定动点P的位置，能引导学生把题目中关于P的叙述转换并理解为“点P在直线y=10-x”上，是解题的关键.（以静态分析动态）最后自变量取值范围的确定，是综合考察了学生如何根据一次函数图像的特征得出函数性质及取值范围的能力.第三步，学情分析，学生在此前已经掌握了一次函数关系式、一次函数图像的画图和图像性质，并能完成较简单的列函数关系式题目（题目中自变量与因变量的关系是单一的、显性的），但在考虑自变量取值范围中仍有遗漏现象.对于该题，学生一开始会觉得无从下手，S跟x不是单一的、显性的关系.而且点P不是定点，而是动点，如何确定动点的位置来画图分析，这个是尖子生都会不敢胡乱下笔作答的.在对于点P的叙述转换上，大多数学生经过引导，是可以得出点P在直线y=10-x的，但是在作图时，学生容易忽略（0，10）（10，0）这两点的不可取.说明学生在有实际背景的函数问题上相对缺乏对自变量取值范围的思考和自觉反思.

第四步，引导学生综合考虑：P（x，y），且x+y=10，这样的表达形式与我们学过的什么形式类似，能否转换？（数学的化归思想体现）得出点P在直线y=10-x上，我们只要画出这条直线就能确定P的相应位置，让学生动手画出点P所在的直线和确定点P的位置.这是算法策略的典型特征.（在这里安排纠错展示，P的位置不是一条直线，只是一条直线在第一象限的部分，还不包括与坐标轴的两个交点.）引导学生：既然点P就是在这上面运动的，那我们就“以静制动”，把它定下来研究.这样就可以画出三角形的形状了.学生能口头回答以那条为底边，哪条为高进行S的关系式的表达.（高是什么？点P的纵坐标的绝对值，因为点P在第一象限，所以就是纵坐标）

第五步，总结，解题规律，从结论出发，考虑S的意义，需要确定三角形的底边和高，需要画图，需要确定动点P的轨迹――把已知条件的形式转化为熟悉的一次函数形式后，以静态特征研究动态特征，去y留x，得出所求函数关系式.数学思想方法：化归思想（把不熟悉的转化为熟悉的，把题目的部分式子抽离题目背景出来进行思考），数形结合思想（通过三角形图像的确定知道高的表示，通过P的轨迹即一次函数图像的分析得出自变量取值范围）

第六步，变式，假如没有了“第一象限”的已知条件，那整个题目的答案有无改变？这个函数就变成了分段函数：x=0，x10三种情况，甚至可以提出那种情况下S的值.

参考文献

[1]G・波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技出版社，2002.

[2]王杰航.初中数学方程模块学习应有的策略阐释[J].中学数学研究，2012，（4）.