时间:2022-07-09 07:18:21
最值问题是圆锥曲线中的典型问题,它是解析几何与其他知识的交汇的一个重要的知识点,是我们教学的重点也是近年高考的热点.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义,而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识,灵活解题.以下从五个方面予以阐述.
一、 求角的最值
例1 椭圆x2a2+y2b2=1,F1,F2分别为椭圆的两个
焦点,在椭圆上任取一点M, 求∠F1MF2的最值.
解析:设椭圆一点M(x0,y0) 设|MF1|=r1,|MF2|=r2由椭圆定义得r1+r2=2a则:
cos∠F1MF2=r21+r22-(2c)22r1r2
=(r1+r2)2-2r1r2-(2c)22r1r2
=2b2r1r2-1≥
2b2r1+r222-1当且仅当r1=r2时,即x20=0时,也就是M在短轴的端点时
(cos∠F1MF2)min=2b2a2-1.
又x∈(0,π)时,cosx为减函数,cos∠F1MF2 取最小值时,∠F1MF2在(0,π) 取得最大值 ,
(∠F1MF2)max=∠F1PF2
评注:把求角的最值,转化为求角的余弦的最值,利用基本不等式即可.
二、 求距离的最值或距离最值条件下的参变量的值
例2 在抛物线y=4x2上求一点,使它到直线y=4x-5的距离最短.
解析:
设抛物线上的点P(t,4t2),点P到直线4x-y-5=0的距离
d=|4t2-4t+5|17=
4t-122+417
当t=12时,dmin=417,故所求点为12,1.
例3 若椭圆x29+y24=1上点P到定点A(a ,0)(0<a<3)的距离最短是1,求实数a的值.
解析:设P(x,y)则:
d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-49x2=59
x-95a2+4-45a2
-3≤x≤3
① 当95a≤3时,即0
d2min=4-45a2=1,a=±152(舍)
② 当95a>3时,即53
d2min=a2-6a+9=1,a=1或4(舍).
综上所述:a=2.
评注:把求距离最值问题转化为求二次函数的最值,利用闭区间上二次函数最值的求法迅速得解.
三、 求几何特征量代数和的最值
例3 点M和F分别是椭圆x225+y29=1上的动点和右焦点,定点B(2,2).
(1) 求|MF|+|MB|的最小值.
(2) 求54|MF|+|MB|的最小值.
解析:易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F′(-4,0),离心率e=45,准线方程x=±254.
(1) |MF|+|MB|=10|MF′|+|MB|=10(|MF′||MB|)≥10|F′B|=10210.
故当M,B,F′三点共线时,|MF|+|MB|取最小值10210.
(2) 过动点M作右准线x=254的垂线,垂足为H,则|MF||MH|=e=45|MH|=45|MF|
.于是
54|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=174.可见,当且仅当点B、M、H共线时,54|MF|+|MB|取最小值174.
评注:(1) 中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的.
(2) 从椭圆的定义出发,将问题转化为平几中的问题,利用三角形三边所满足的基本关系,是解决此类问题的常见思路.回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用.
例4 点P为双曲线x24-y2=1的右支上一点,M,N分别为(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.
解析:由题意知:两已知圆的圆心分别为双曲线的左右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P,|PF1|-|PF2|=4为定值,连结PF1,并延长PF1交F1于点Mo,连结PF2,交F2于点No.
|PM|-|PN|≤(|PF1+1|)-(|PF2|-1)=4+2=6
故|PM|-|PN|的最大值为6 .
评注:仔细审题,合理应用平面几何知识(三角形两边之和大于第三边.两边之差小于第三边),沟通条件与所求结论的内在联系,是解决本题的关键.
四、 求面积的最值
例5 已知平面内的一个动点P到直线l:x=433的距离与到定点F(3,0)的距离之比为233,点A1,12,设动点P的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程;
(2) 过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点.求MAN面积的最大值.
解析:(1) 设动点P到l的距离为d,
由题意PFd=32
根据圆锥曲线统一定义,点P的轨迹C为椭圆.
c=3,e=ca=32,可得a=2,
b2=a2-c2=4-3=1
故椭圆C的方程为:x24+y2=1
(2) 若直线l存在斜率,设其方程为y=kx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)
将y=kx代入椭圆C的方程x24+y2=1并整理得(1+4k2)x2-4=0.
x1+x2=0,x1x2=-41+4k2
于是|MN|=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)・161+4k2=
41+k21+4k2
又点A到直线l的距离d=k-121+k2
故MAN的面积S=12|MN|・d=|2k-1|1+4k2
从而S2=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2
① 当k=0时,S2=1得S=1
② 当k>0时,S2
③ 当k
得S≤2
若直线l不存在斜率,则MN即为椭圆C的短轴,所以MN=2. 于是MAN的面积S=12・2・1=1.
综上,MAN的最大值为2.
评注:本题将MAN的面积表示为l的斜率k的函数,其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识,在处理所得的面积函数时,运用了分类讨论的思想方法.当然,也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程,由Δ≥0求得面积S的最大值.
五、 求最值条件下的曲线方程
例6 在直线l:x-y+9=0上任意取一点P,经过P点以椭圆C:x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆E.
(1) P在何处时,E的长轴最短?
(2) 求E长轴最短时的方程.
解析:方法一:(数形结合的思想)
F1(-3,0),F2(3,0),作F1关于l的对称点F′1(-9,6)
则2a=PF1+PF2=PF′1+PF2
所以P,F′1,F2三点共线时,(2a)min=F′1F2=65.
此时,由x+2y-3=0
x-y+9=0得P(-5,4),同时可得椭圆方程为x245+y236=1.
方法二:(不等式的思想)
由题意知c=3,所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-9=1.
由x-y+9=0
x2a2+y2a2-9=1 ( )
得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0
令Δ≥0得a≥35,所以(2a)min=65,
将a代入( )得P(-5,4),椭圆方程为x245+y236=1.
评注:此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想.在解析几何中利用列不等式是隐含条件,要引起注意.
解决圆锥曲线中的最值问题,要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质,灵活合理地运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法,仔细审题,挖掘隐含,寻求恰当的解题方法,在解题过程中力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理.