聚焦考点 三视图

三视图作为新课标的新增内容，充分显示了课改的精神实质.在以往的高考试卷中，它均以选择题或填空题的形式出现，预计在未来的高考中也可能出现在解答题中.因此，在高考备考过程中应该引起足够的重视.如何画图、识图、用图是学好三视图的关键.现结合今年的高考试题，依据考试说明的要求进行剖析和说明，恳请得到大家的批评和指正.

一、 能画出简单空间图形的三视图

例1 (2011年辽宁高考卷，理15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是.

答案：23

解析：由俯视图和左视图的形状可知，该正三棱柱是直立放置的几何体.不妨设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则其底面三角形的高为32a，由12・32a2・a=23，解得a=2.因为正三棱柱左视图的高为正三棱柱高，底边长与正三棱柱底面上的高相等，故该矩形（左视图）的面积是32・2・2=23.

点评：考试说明指出：要会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱）的三视图及其简单组合的三视图.画三视图时，要满足主（正）、俯（左）视图长对正，主（正）、侧（左）视图高平齐，俯、侧（左）视图宽相等.

例2:（2011浙江高考卷，文7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

答案：B

解析：A中几何体的正视图为图（1）；C中几何体的俯视图为图（2）；D中几何体的侧视图为图（3）.显然，只有B成立.

点评：选择哪个方向画主（正）视图由观察者人为确定.在三视图中，需要画出所有的轮廓线.其中，视线所见的轮廓线要画出实线，看不见的轮廓线，要画成虚线.要清楚简单组合体是由哪几个基本组合体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置.

二、 能借助简单空间图形的三视图识别它所表示的立体模型

例3: (2011年山东高考卷，理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．

给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；

② 存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，

其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

答案：A

解析：对于①,可以是图（1）所示的放倒的三棱柱，此时侧面CBB1C1侧面BB1A1A；对于②，可以是图（2）所示的底面为正方形的直棱柱；对于③，可以是图（3）所示的横卧的圆柱.

点评：考试说明指出：要能识别柱、锥、台、球等基本组合体的三视图所表示的立体模型，在不影响图形特征的基础上（尺寸、线条等不作严格要求），会画某些建筑物的视图与直观图.该考题仅给出了主视图、俯视图，让考生去想象几何体的可能形状，命题方式新颖独特.更为可贵的是主视图、俯视图都是我们熟悉的矩形，而几何体恰恰就列出了我们最为熟悉的三棱柱、四棱柱、圆柱.尽管题目信息量大，但是不偏、不怪、不刁钻.它充分体现了新课程对学生空间想象能力的要求，遵循了从局部到整体，从抽象到具体的原则.

例4 （2011年新课标全国高考卷，理科6）在一个几何体的三视图中，

正视图和俯视图如右图，则相应的俯视图可以为（）

答案：D

解析：由主视图和俯视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，

前面是三棱锥的组合体，如右图所示，故其左视图是D.

点评：三视图与直观图可以相互转换，由实物图可以画出它的三视图.在实际生产中，还需要由三视图还原成实物图，这就需要由三视图想象它的空间实物形状，可先由不同的视图想象实物的形状，最后再把它们组合起来.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.

三、 借助给出的三视图的形状和尺寸，还原其立体模型并求其表面积或体积

例5 (2011年安徽高考卷，理科6)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A. 18

B. 32+817

C. 48+817

D. 80

答案：C

解析：由三视图可知该几何体的直观图如右下图所示，其侧面BCC1B1与ADD1A1均为等腰梯形，该等腰梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为4，故两个侧面的面积为(2+4)×42×2=24；四边形ABB1A1与CDD1C1均为矩形，其中BB2=42+12=17，故两个矩形的面积和为417×2=817；SA1B1C1D1=4×2=8，SABCD=4×4=16.于是，该几何体的表面积为

24+817+8+16=48+817.

点评：由三视图还原直观图时每一个数据都要标注准确. 由主视图可得几何体的底面边长和高，由侧视图可得几何体的另一底面边长和高，由俯视图可得几何体两底面的边长.

例6:(2011年高考陕西卷，理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

A. 8-2π3

B. 8-π3

C. 8-2π

D. 2π3

答案：A

解析：由三视图可知，该几何体为立方体与圆锥的组合体，即在立方体里面挖去了一个圆锥.其中，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1，高为2，所以其体积为23-13・π×22×2=8-2π3.

点评：柱、锥、台、球是我们学习的最简单几何体，在实际生活中，常常由它们组成组合体，组合体通常由两种基本的组成方式：（1） 一是将基本几何体拼凑成组合体；（2） 从基本组合体中切掉或挖掉部分构成组合体.