基于倒立摆系统案例的自动控制原理教学研究

摘要：结合卓越工程师教育培养计划以及《自动控制原理》课程的特点，以培养学生创新、实践能力为指向，在课程教学中融入工程案例进行讲解。本文以一级直线倒立摆的典型非线性不稳定系统为案例，将系统建模、稳定性、可控性等特性分析和极点配置控制设计的内容与倒立摆案例直接关联，帮助学生更好地理解自控原理教学内容与实际工程技术表现形式间的关系。

关键词：自控原理;一级直线倒立摆;案例教学;卓越工程师计划

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）43-0170-02

一、引言

自控原理是自动化专业的核心专业课程之一，也毫无疑问地成为在自动化类专业学生中实施卓越工程师教育培养计划时必须重点进行教学改革的科目。本文尝试引入结合案例控制系统特性分析的教学模式，这样可使得枯燥的纯理论学习有了理解上的具体参照对象，加强学生对理论课程的自发思考和理解，引导学生理论学习的工程应用导向。

各种倒立摆系统作为典型的非线性不稳定系统，可以很好地反映许多工程控制对象的动态特性，成为开展各种控制实验和理论校验的理想平台。自控原理和线控理论中许多抽象的数学概念，如对控制系统的建模、稳定性、可控性的模型特性分析、系统收敛速度和鲁棒性能指标等，都可以通过倒立摆系统非常直观地表现出来。

二、结合一级倒立摆系统的自控原理教改思路

（一）对象物理特性及其数学建模

为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定量的计算，对象系统的数学模型的建立是关键的第一步[1]，以下结合倒立摆详细说明数学模型建立的过程。

图1所示F是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆杆与竖直向上方向的夹角，m为摆杆质量，l为摆杆转动轴心到杆质心的长度，I为摆杆惯量，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量[2]。控制目标是控制小车的水平运动，使摆杆保持在竖直向上的位置不倒，即倒立稳定。

一方面，对摆杆垂直方向上的受力分析得到：

另一方面，对摆杆水平方向受力分析得到：

注意到，摆杆与小车间连接铰链的力矩平衡方程是：

将式（1）与（2）代入式（3），整理可得：

如果考虑以倒立摆的小车加速度作为倒立摆系统的控制输入量，x和θ作为系统的测量输出，则以上经过受力分析得到的系统输入输出之间的非线性微分方程就是对象的原始模型。由于非线性的存在，不利于基于该类模型的分析与设计，为此考虑模型简化，建立所谓的近似模型。

注意到，在摆杆竖直向上的平衡位置周边的狭小角度区域内，可以将以上模型近似线性化，此时由于θ较小，则近似认为cosθ=1，sinθ=θ，则式（4）可以线性化为：

对于质量均匀分布的摆杆有I=ml2，进而式（5）可变为：

选取状态向量

并代入参数l=0.25m;g=9.8m/s2，得系统的线性状态空间表达式为：

由于上述建模过程是基于物理形象和定理/定律来给出的，学生很容易理解模型的工程意义，于是基于该模型的控制对象特性的分析与设计，就有了非常直观的关联参照。

（二）基于模型的系统能控性分析

由倒立摆系统的状态空间表达式（7）和（8），构造可控性矩阵并进行秩条件判断，有

rank（Q）=rank[B AB A2B A3B]=4=n（9）

由判别可控性的矩阵秩判据可知上述考虑的被控系统是完全能控的，从而可通过状态反馈实现任意配置闭环系统极点。这意味着倒立摆系统在摆杆垂直位置附近的邻域内，通过对小车加速度大小与方向的调整可以对其系统整体的状态向量进行控制以实现摆杆垂直平衡控制。

（三）基于模型的极点配置反馈镇定设计

由倒立摆系统的模型（7）计算出矩阵A的特征值为5.422，-5.422，0，0，由线性定常系统的特征值判据[3]可知系统不稳定，即开环系统的摆杆垂直向上的平衡点不是稳定的，需要引入状态反馈进行系统镇定。

取闭环系统主导极点

非主导极点取为μ3=-10，μ4=-10。相应的期望闭环特征多项式为：

p*（s）=（s-μ1）（s-μ2）（s-μ3）（s-μ4）

=s4+24s3+196s2+720s+1600 （10）

对由（7），（8）定义的被控系统∑0（A，B，C），引入形如K=[k1 k2 k3 k4]静态状态反馈后，相应的闭环系统特征多项式为：

pF（S）=det[sI-（A-BK）] （11）

令pF=（S）=p*（s），可得到反馈增益矩阵：

K=[-54.4218 -24.4898 93.2739 16.1633]

上述增益矩阵表明利用小车位置、速度的负反馈和摆杆角度、角速度的正反馈形成小车的加速度控制量作用到小车上，就可以在模型（7）（8）描述的倒立摆系统状态范围内实现摆杆垂直平衡控制目标。

三、结语

本文结合倒立摆系统，详细具体地探讨了自控原理课程中一系列抽象概念的内涵，加深学生的理解，达到了理论与实践的有益结合，为在自动化类专业学生中实施卓越工程师教育培养计划过程的自控原理教学做有益探索。

参考文献：

[1]宋潇潇，张力.结合自动控制理论的现代控制理论教学研究[J].科技世界，2015，（6）：101-102.

[2]固高科技（深圳）有限公司.倒立摆与自动控制原理实验[M].深圳：固高科技有限公司，2005：47.

[3]胡寿松.自动控制原理[M].第六版.北京：科学出版社，2013.