导数求解的常用方法

摘 要：导数的求解问题在高等数学中是一个重点，也是一个难点。又因为它是后继某些章节的基础，所以要想学好这一部分，就应该系统地总结导数求解的方法。常用的求导方法有定义法、公式法、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数等。

关键词：函数 求导 方法

导数的求解以及跟导数相关的命题在历年的考试中，无论是在自学考考还是在成人高考中，所占的比重都相当高。这一部分也是后继内容如积分问题、微分方程问题、多元函数微积分等问题的必要基础。因此学好这一部分是取得这门课程高分的关键!在以前的教学过程中，我发现很多学生对数学的学习很吃力，关键是没有找到学习这门课程的技巧和方法。在此，我结合教学过程中学生经常出现的问题对导数的求解问题进行详细的介绍，以便帮助大家取得理想的成绩。

现在(主要以2006年成人高考数学一以及2006年4月份全国自学考试高等数学试题为例)就以上的各种方法进行详细的讨论。

一、定义法

任何定义都是解决问题的基础，导数的定义同样也是。导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x 的某一邻域内有定义，若自变x在处x 的改变量为Δx（x ≠0，x +Δx仍在该邻域内）时，相应的函数有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy与Δx之比 当Δx0时，有极限=存在，则称这个极限为函数y=f(x)在点x 的导数。并且说，函数y=f(x)在点x 可导，记作f′（x ）。［１］对于导数定义的应用，一般来说，是用来解决如分段函数或者是针对定义的灵活应用上。

以成考试题的选择题第3题为例，题目如下：

上面的题目就是对定义的考察，在处理这个题目的时候，一定要深刻理解定义的表达，下面从定义着手解答。解答过程如下：

因此正确的选择项为A。

对于分段函数的求导问题，自学考试的填空题第9题:

[解]首先要求出左、右导数，然后比较二者是否相等。由已知条件知道:

由于左右极限存在但不相等，所以函数在x 处导数不存在。

二、公式法

利用公式法求导相对简单，因为只要考生能够熟记大纲中要求的常用求导公式，就能够很容易得分。这方面的考题在每年都有所体现。如成考选择题第4题：

曲线y=x 在点（1 ，1）处的切线的斜率为（）。

本题考查的是公式法进行导数的求解，同时还要求大家知道函数y=x 的导函数及其导函数的几何意义，导函数的几何意义是：曲线上某一点处切线的斜率。知道这些后这个问题就迎刃而解了。具体的解答过程如下：

k=y′=（x ）′=-3x =-3x ，当x=1时，k=-3×1 =-3。

可以知道答案为C。

同样的问题在成考填空题第11题中也出现了，题目如下：

设y=x ，则dy=（）。

本题不仅需要大家熟记y=x 的导函数公式，还要知道导数与微分的关系，主要还是要求大家会进行求导。

[解]dy=(x )dx=(2x )dx=2xdx。

从上面的两个题目可以看出，基础知识的掌握是很重要的。

三、导数的四则运算

四则运算的运算法则：设u=u(x)与v=v(x)在点x处可导，则：

我们通过下面的例子来熟悉导数的四则运算法则。例题如下：

四、复合函数求导

设y=f(u)，u=g(x)复合成y=f[g(x)]，如果u=g(x)在点x处可导，y=f(u)在相应点u=g(x)也可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x处可导，则有下面的求导方法 = ・ =f′（u）・g′（x）。此方法也可以用于多层复合的情形。

具体的应用请看下面的例题：

（1） 设y=lnsinx，求y′；[成人高考解答题的第22题]

（2） y=ln ；

（3）y=e 。

[解]

（1）设y=lnu，u=sinx，

则由复合函数的求导方法得到： = ・ ；

又 =(lnu)′= ， =(sinx)′=cosx;

所以 = ・cosx= =tanx。

（2）y′=(ln )′= ・ = 。

（3） 设y=e ，u=cotv，v=2x，那么函数y=e 可以看作是由y=e ，u=cotv，v=2x复合而成。

因此由复合函数的求导方法可以得到： = ・ ・ ；

又 =(e )′=e ， =(cotv)′=-csc v， =(2x)′=2;

所以 =-e ・csc v・2=-2e ・csc 2x。

五、隐函数求导

若已知F（x，y)=0，求y′，一般来说按下列步骤进行求解：

a)若方程F（x，y)=0，能化为y=f(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；

b)若方程F（x，y)=0，不能化为y=f(x)的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数y=f(x)，用复合函数求导法则进行。

下面举例说明隐函数求导的方法，例题如下：

求方程xy+3x -5y-7=0确定的隐函数y=f(x)的导数。［２］

[解]方程两端对x求导数，由复合函数的求导法则，有:

解得隐函数的导数为:y′= 。

从上面的例题可以看出，在求解的时候关键是弄明白函数的形式，是隐函数还是显函数，然后采用相应的隐函数求导方法来解决。

六、参数方程求导

无论是成考、自学考试、还是研究生入学考试，参数方程的求导问题一直都是考试的重点。所以要求大家对这一部分引起足够重视。参数方程求导的方法是：

设y=f(x)是由x=φ(t)y=?准(t)所确定的函数，其中φ(t)、?准(t)是可导的，并且?准′(t)≠0，则： = = 。

以成考第23题为例来说明参数方程求导的重要性。

设x=t y=cost（其中t为参数），求 。

七、高阶导数的求解

通常称二阶或者高于二阶的导数为高阶导数，其求解的过程跟一阶的相同，前提是求n阶导数时，前n-1阶导数存在。方法是在求完一阶后，再求二阶，以此类推，直到求到满足要求的阶数为止。请看2006年数学一填空题的第12题：

设y=e ，则y″=()。

[解]首先来求函数的一阶导数:y′=（e ）′=e ;

再求二阶导数:y″=（e ）′=e 。

至此，考试过程中经常出现的求导方法就讲完了。我想通过上面的讲解，大家对导数的求解问题一定有了新的理解和认识。希望大家学会本质的东西，不能只会表面性的东西。因为只有把知识真正理解掌握了，才能够触类旁通，在考试的过程中才能取得好成绩。

参考文献：

[1]侯风波.高等数学.北京：高等教育出版社，2003.

[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，1960.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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