例谈导数在高中数学中的应用

近几年高考命题倾向于考查新教材的内容，而考查综合分析问题、解决问题的能力，也已成为高考命题的新热点.高考考试大纲指出：“对运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主.”因此，对于高中的一些数学问题，若利用导数求解，就能使问题简单化，显示出其解法的优越性.本文就导数在高中数学中的应用作一下探讨，旨在探究解题规律.

一、在解析几何中的应用

例1.求曲线y=3x-x过点A（2，-2）的切线方程.

分析：曲线过点A处的切线与曲线在点A处的切线不同，前者既包括点A处的切线，又包括过点A但切点在另一点处的切线.

解：设切点为P（x，y），由导数的几何意义知，切线的斜率k=y′|=3-3x，在点P处的切线方程为y-y=（3-3x）（x-x）.又切线过点A，故-2-（3x-x）=（3-3x）（2-x），整理得xx-3x+4=0，即（x+1）（x）=0，x=-1或x=2.

当x=-1时，切线方程为y=-2；当x=2时，切线方程为9x+y-16=0.

二、在不等式中的应用

例2.（2004年全国高考题）设函数g（x）=xlnx，0＜a＜b，证明：0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.

分析：不等式中的变量为区间的两个端点，所以设辅助函数时可把其中的一个端点设为自变量即可.

证明：设f（x）=g（a）+g（x）-2g.

则f′（x）=g′（x）-g′=lnx-ln.

当x=a时，f′（x）=0;当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0.

当x=a时，f（x）=f（a），f（b）＞f（a）＞0，即0＜g（a）+g（b）-2g.

又设h（x）=f（x）-（x-a）ln2，则h′（x）=f′（x）-ln2=lnx-ln（a+x）.

当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上是减函数.h（b）＜h（a）=0.

即g（a）+g（b）+2g（）＜（b-a）ln2.

综上所述，0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.

三、在函数中的应用

例3.（2008年全国高考题）已知函数f（x）=x+ax+x+1，a∈R.

（1）讨论函数f（x）的单调区间；

（2）设函数f（x）在区间-，-内是减函数，求a的取值范围.

解：（1）f（x）=x+ax+x+1，求导：f′（x）=3x+2ax+1.

当a≤3时，Δ≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；

当a＞3，由f′（x）=0，求得两根为x=，

即f（x）在-∞，上递增，在，上递减，在，+∞上递增.

（2）（法一）函数f（x）在区间-，-内是减函数，，递减，≤-≥-，且a＞3，解得：a≥2.

（法二）只需求3x+2ax+1≤0在区间-，-恒成立即可.

令g（x）=3x+2ax+1，只需：

g（-）≤3×-2a×+1≤0g（-）=3×-2a×+1≤0a≥a≥2a≥2.

a的取值范围为［2，+∞）.

四、在生活中的应用

例4.（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm，

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；

②设OP=x（km），将y表示为x的函数.

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决.

解析：（1）略解：①所求函数关系式为y=+10（0≤θ≤）

②所求函数关系式为y=x+2（0≤x≤10）

（2）方法一：选择函数模型①

y′==

令y′=0得sinθ=，0≤θ≤θ=，当θ∈（0，）时y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈，时y′＞0，y是θ的增函数.所以函数在θ=处取得最小值y=+10=10+10，θ∈0，.

当θ=时，AO=BO==（km）.因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A，B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短.

方法二：选用函数模型②：

y′=1+，令y′=0则=20-2x，

平方得3x-60x+200=0，解得x=10±，由于0≤x≤10，

因此当x=10-时，这个函数有最小值，此时OQ=.因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短.

通过以上例题的分析可以看出，综合性试题是考查数学能力和数学素养的极好素材，同学们应引起足够的重视.

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