等量关系觅寻:初中数学方程应用题解题的核心线索

[摘 要] 方程应用题是基于等式的基本性质出发，将等式的核心内容应用到具体的实际问题情境中，通过设置未知数以替代等式的残缺部分，以实现问题的解答. 而等式中的等量关系原则同样适应方程问题，甚至在方程问题中的作用更大，其不仅是方程问题解题的关键和核心，而且是发展学生解题思维、增强学生问题意识的重要活动依托.

[关键词] 初中数学；应用题；方程；等量关系

据考古发现，早在三千六百年前，古埃及人就开始涉猎方程问题，而我国的“九章算术”以及“天元术”等也都对方程问题进行了详尽的论述和解说. 可见，方程问题对于解决人们的现实生活难题至关重要. 其实，大多数实际问题并非总有现成的公式或经论证过的定理可供直接套用，在多数情况下，实际问题总是会存在一个或者多个的未知量，这就需要靠列方程来解答，通过正确设定未知数，根据题目中显现或隐藏的等量关系列出正确的关系式，便能使问题迎刃而解. 而根据数学术语，方程指的是“含有未知数的等式”，所以，初中数学方程应用题解题的核心线索不在于未知数的设定，而在于“等式”两个字之中，即等量关系的寻找. 只要等量关系确定，未知数也会自动“浮出水面”. 而初中数学的方程应用题已经具备一定的逻辑性和结构性，直接套用公式的情况慢慢减少，靠学生自己寻找等量关系的题型不断增加.

数学规律：直接的引用源

数学规律是经证实的、可直接利用的现成结论，很多实际问题都包含着特定的数学结论可寻，如路程问题、工程问题、面积公式、体积公式等，而初中数学又是经过了六年小学历练而来，学生本身就积累了很多可供直接引用的公式和技巧，所以，初中数学等量关系的寻找应当首先考虑实际问题中是否存在这些现成的数量关系以及数学经验或规律.

1. 公式的直接引用

利用现成的公式来确定题目的等量关系式，是最为简便，也最为简单的方法之一，初中数学方程应用题的解题应当重视这种基本解题方法的掌握.

例1 国庆节那天，逸轩和几个同学来到一家饮料店交流国庆节的日程安排. 已知饮料店中苹果汁比奶茶便宜2元，逸轩和他的几位同学共点了3杯苹果汁和5杯奶茶，共花了58元. 你能分别算出饮料店苹果汁和奶茶的单价吗？

分析 题目虽然说了一大堆内容，但有用的信息是后面的几句话. 题目谈及饮料的价钱以及购买的数量，并告诉学生共花了58元，由此，学生可判定本题可利用公式“单价×数量=总价”进行解答，并根据这个基本公式确定了本题的等量关系为：3杯苹果汁×苹果汁的单价+5杯奶茶×奶茶的单价=58元.

解答 设苹果汁的单价为x元，则奶茶的单价为（x+2）元. 根据题意，可得：

3x+5（x+2）=58

8x=48

x=6

x+2=8

所以，苹果汁的单价为6元，奶茶的单价为8元.

2. 经验的迁移转化

初中生经过多年的数学学习，肯定已经积累并具备了各种解题经验，而且对于一些数学规律也有一个基本的认知，所以，初中生在解决方程问题时，应当有意识地让这些经验认识从脑海中返回并迁移到实际情境中，为等量关系的确定添翼.

如学习人教版初中数学七年级上册“用方程解决实际问题”时，有如下一道题：

例2 小明从爸爸的公司拿来一个日历，小明随意翻开其中的一个月，发现其中相邻的三个数之和为39，试问小明发现的第一个数是多少.

分析 日历是学生生活中常见的东西，学生必然对此有一定的了解和印象，基本能够利用经验看懂日历的结构. 从已知条件的“一个月”学生便能联想到“天数是逐一增加的”的隐形条件，再结合“小明所发现的三个天数是相邻的”以及“它们之和为39”，学生便可以判断：这三个天数相加的和为39，因而得出本题的等量关系式. 关系式“第一个数+第二个数+第三个数=39”确定后，学生便可根据所求问题“求第一个数”，将所要求的“第一个数”设为未知数.

解答 设第一个数为x，则第二个数为x+1，第三个数为x+2. 根据题意可得：

x+（x+1）+（x+2）=39

3x+3=39

3x=36

x=12

所以小明发现的第一个数为12.

数形结合：有效的直观术

数形结合能够将抽象、难懂且逻辑性强的代数关系简化为学生容易理解的具体、形象或直观的几何图象或现实模型，由此增强学生的理解能力. 实践证明，数形结合是帮助学生分析实际问题、找出正确关系式的最有效方法，所以，初中数学方程应用题的教学应当积极帮助学生利用自己的美术能力和素养，将美术课程与初中数学完美整合，通过画线段图、画简图以及直接欣赏、观察实物模型等来获取对实际问题的直观认识，从而确定方程问题的等量关系式.

例3 操场上有一个环形跑道，长400米，甲、乙两人为了参加体育比赛，一起到这里进行跑步训练，已知甲平均每秒跑8米，乙平均每秒跑6米，两人相距20米（甲在乙前面），甲、乙两人同时同向出发，你能求出两人首次相遇的时间吗？

分析 经过分析，学生虽然能够发现本题所隐含的公式“速度×时间=路程”就是本题所要确定的等量关系式，但却无法根据题意直接得出具体的关系式，因为题目中的条件太多. 所以，要快速且准确地列出本题的等量关系式，最好的途径就是通过画简图的形式，即将环形跑道抽象为一个长为400米的圆形曲线，具体如图1所示.

解答 根据图1可知，假设两者还未出发，因为甲在乙的前面，所以甲要追上乙所需多行的路程为（400-20）的整数倍米，而根据题意可知，甲比乙的速度快（8-6）米，所以，如果假设两者首次相遇的时间为x秒，那么根据图1所示，甲所走的路程一定是比乙所走的路程多（400-20）米，由此可得出等量关系式：8x-6x=400-20，解得x=190，所以两者第一次相遇的时间应当是共同走190秒.

解题实践：丰富的来源地

诸如“实践出真知”“实践是认识的阶梯”等真理性言论已屡见不鲜，对于初中数学方程应用题的等量关系认知，也是如此. 如果没有足够的解题实践，纵使初中生对等量关系的确定方法滚瓜烂熟，也只是纸上谈兵，当其真正投入解题实践时，只会处处碰壁. 因此，初中数学教师要把解题实践放在培养学生正确寻找等量关系的核心位置上，通过引导学生的解题实践，让学生认识到关键词、不变量、隐蔽条件、事理关系、参数等种种等量关系确定的情况，培养学生良好的解题思维.

例4 某公司现有一批零件需要加工，分别交给甲、乙、丙三个人负责，已知甲单独做了6个小时后，又与乙一起工作了2个小时，之后再和丙一起工作了4个小时，最后还剩50个零件没有加工. 如果丙和甲每小时的工作量相同，甲每小时比乙多加工4个零件，且这批零件的总数为500个，问甲每小时加工多少个零件.

分析 这是典型的“工作量计算问题”，始终围绕公式“工作效率×工作时间=工作总量”进行变形，而且，如果学生对这种题型有一定的实践经验就会知道，在这种题型中，工作总量是一个“不变量”，通常的算法是将所有的部分工作量加起来等于总量来确定题目的等量关系式. 如此题，就是要把“甲单独做的工作量”“甲与乙合作的工作量”和“甲和丙合作的工作量”进行相加，便会得到“总量500-剩余量50”这个基本的等量关系，而根据题目所示，直接设定乙的工作效率为未知数即可快速求出答案.

总之，方程应用题是初中数学教学领域的重要一环，也是学生利用已学的基本数学知识、数学技能、数学经验和数学思维等“墨水”，分析和解决实际生活问题的关键途径. 而等量关系是方程应用题解题的核心线索，如果学生不能正确地找出一道题的等量关系，那么，即使其智力再高，也无法快速、准确地进行求解. 因此，初中数学教师在教学方程应用题时，应当将等量关系的寻找作为核心和基础地位来看待，应通过引导学生加强数学解题实践，利用基本数学规律，并进行巧妙的数形结合，来不断训练、培养学生寻求等量关系的数学思维.