浅析高等代数与中学数学的关联

摘 要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念

信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。

在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。

一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系

中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解

中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。高等代数中先给出了行列式定义与计算方法，然后对n个未知数和n个方程组的情形，在行列式D不为零时，给出了Cramer法则。第三章重点讲线性方程组的解法（矩阵消元解法），特别是在引入了矩阵的概念和算法后，书写和计算简洁上有了很大的进步。最后给出了线性方程组解的判定及解与解之间的关系，得到了基础解系的表达方式，从而给线性方程组的求解画上了圆满的句号。

中学数学学习了向量的运算，如加减法、数量积、长度和夹角等概念。高等代数第九章欧几里得空间中对此进行了全面的定义，将其一般化，其中内积运算更具代表性，中学数学中讲到的仅仅是向量元素的一种特殊情形。

可见，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高。它不仅解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以中学数学中涉及的整数、实数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间，进而得到欧氏空间等代数系统。这对用现代数学的观点和方法去研究中学数学是十分有用的。

二、高等数学类课程与中学数学在思想方法上的联系

1.抽象化

中学阶段用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的概念。高等代数用字母表示多项式、矩阵，变换等，并开始研究抽象的代数系统――向量空间。这里，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式，这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的。随着概念抽象化程度的不断提高，数学研究的对象也急剧扩大，进而定义一些运算，如加法、乘法运算，得到群、环等概念。高等代数等近现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构的科学。

2.归一化

在高等代数里，通过按行、按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；将二次型的研究转化为对实对称矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系；将线性变换的研究转化为矩阵的研究等；同时按元素间的关系进行分类，如用等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类；利用同构关系对线性空间分类、用维数对欧氏空间分类等，这都用到归一化思想。

总之，中学数学教学中，由于受中学生理解能力和所学知识所限，许多概念只能给出定性的描述，推理的严谨性也不够明显，常借助于图形。而高等代数在数学基本知识技能方面的培养上是承上启下的，一般先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系，同时具备抽象性和归一性，应用更广泛，从而能解决更复杂的问题。

参考文献：

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