证明角平分线的三种方法

从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.在学习中,关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们,既可以利用定义,也可以利用等腰三角形的性质,还可以利用角平分线的判定定理.

一、利用角平分线的定义证明

例1如图1,ABC中,AB=AC,E为BA延长线上的点,过A作AD∥BC.求证:AD平分∠CAE.

分析:要证明AD平分∠CAE,只要证明∠EAD=∠CAD即可.

证明:在ABC中,

AB=AC,

∠B=∠C.

AD∥BC,

∠EAD=∠B,∠CAD=∠C.

∠EAD=∠CAD.

AD平分∠CAE.

例2 如图2,AB=AC,∠DBC=∠DCB.求证:AD平分∠BAC.

分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明∠BAD=∠CAD即可.

证明:由∠DBC=∠DCB,得DB=DC.

AB=AC、AD=AD、DB=DC,

ABD≌ACD(SSS).

∠BAD=∠CAD.

AD平分∠BAC.

二、利用等腰三角形的性质证明

例3如图3,AB=AC,AD平分∠BAC.求证:AD平分∠BDC.

分析:要证明AD平分∠BDC,只要证明DE是等腰DBC底边上的中线即可.

证明:在ABC中,

AB=AC,AD平分∠BAC,

AD是等腰ABC顶角的平分线.

AD垂直平分BC,

DB=DC.

BE=CE,

DE是等腰DBC底边上的中线.

DE平分∠BDC,

即 AD平分∠BDC.

例4如图4,ABC中,ADBC于D,E为AD上的一点,BE=CE.求证:AD平分∠BAC.

分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明AD是等腰ABC底边上的高即可.

证明:由ADBC于D,BE=CE,得ED是等腰EBC底边上的高.

ED是底边BC的垂直平分线.

AB=AC.

AD是等腰ABC底边上的高.

AD平分∠BAC.

三、利用角平分线的判定定理证明

例5如图5,CF和BF分别平分ABC的两个外角.求证:AF平分∠BAC.

分析:要证明AF平分∠BAC,只要证明点F到AC边的距离等于点F到AB边的距离即可.

证明:由CF平分∠BCE,得点F在∠BCE的平分线上.

点F到AC边的距离等于点F到BC边的距离.

同理,点F到AB边的距离等于点F到BC边的距离.

点F到AC边的距离等于点F到AB边的距离.

点F在∠BAC的平分线上.

AF平分∠BAC.

例6如图6,BDAC于D,CEAB于E,O为BD、CE的交点.且OB=OC.求证:OA平分∠BAC.

分析:要证明OA平分∠BAC,只要证明点O到∠BAC两边的距离相等即可.

证明:在BOE和COD中,

∠OEB=∠ODC=90°,∠BOE=∠COD,OB=OC,

BOE≌COD(AAS).

OE=OD.

点O到∠BAC两边的距离相等.

OA平分∠BAC.