创新思维在高等数学中的探索与实践

【摘 要】 阐述在高等数学教学中对学生进行创新思维培养的重要性，以问题形式进行教学，有意识对学生进行逆向思维及发散思维的训练，重视对学生直觉思维能力的培养，根据具体的教学内容，培养学生思维的深刻性与灵活性，达到提高学生创新思维的目的。

【关键词】 高等数学教学 数学思维 创新思维

1 以问题的形式进行教学

爱因斯坦说过：“提出问题比解决问题更重要” .问题意识是思维的起点，是独立思考的标志，是创新的开始.学生的问题意识越强烈，学习过程中不断地产生“为什么？”，“是什么？”，“怎什么办？”，“怎什么变？”等，其思维也就越主动、越积极、越自觉，也就越有利于问题发现、分析问题和问题解决，反过来又能有力地促进学生数学思维能力的提高和创新意识的形成和发展.

如在讲二元函数在一点沿某一方向的导数时，让学生理解并弄清楚如下问题：

（1）符号和的含义是什么？他们之间有什么关系？

（2）在一点沿某方向方向导数与偏导数有什么关系？

（3）在一点沿某方向方向导数与函数的连续性有什么关系？

（4）方向导数存在的条件？计算方法？

（5）在一点沿某方向方向导数与梯度有什么关系？

在学习罗尔中值定理时，提出如下问题：（1）定理中的第二条（在开区间（，）内可导）能否代替第一条（在闭区间[，]上连续）？（2）将第一条改为在闭区间[，]上可导，去掉第二条，定理有怎样的变化？（3）满足罗尔中值定理条件的中间值是多少？可以是无限多个吗？

对上面的问题举例为，说明函数在开区间（0，1）可导，不能得到在闭区间[0，1]上连续的结论，定理中的第二条不能代替第一条；如，，，显然，在点不可导，但时，，说明将第一条改为在闭区间[，]上可导，去掉第二条，定理的应用范围缩小了。，在[-1，1]上满足罗尔中值定理条件，当时，， ，，说明定理的中间值可以有无限多个.

通过提出问题，我们看到学生一个个都很投入，很专注，他们眼睛里充满好奇和兴奋，他们在为问题寻找答案，他们在不断的挑战自己。问题往往是打开学生心灵的钥匙，是启发学生进行创造性思维的指路明灯。

2 对学生进行逆向思维训练

逆向思维是反映智能水平的一个重要指标。通常，学生在进行数学思维时，存在两种不同方向，一种是顺向思维，即遵循着严谨的逻辑规律，逐步推导，最后得出合理结论，而与其相反的思维称为逆向思维。例如求函数导数为顺向思维，求积分运算为逆向思维.在高等数学概念教学中引导学生对相反的概念要深刻理解，以培养学生的逆向思维能力.在解决具体问题时，要考虑问题的另一面，如计算积分，将被积函数单项式与多项式展开，看出两项和是，这需熟练求导的运算法则及基本初等函数的求导公式，即具有一定的逆向思维能力。

3 对学生进行发散思维训练

发散思维是创新思维的具体表现形式，在高等数学教学中，有意识进行发散思维教学，例如，利用第一换元法对不定积分计算时，根据被积函数特点，将写成不同的形式，

如等；对数字1，在不同的情况下，可写成不同的形式，如求时，1=，极限值为，计算时，将分子写成1=，而对于积分的计算，需将分子写成1=.

对一个具体问题，要从不同角度进行考虑，尽量做到一题多解，如计算不定积分，被积函数中有无理函数，利用转化的思想，做变量代换，如设，则，.于是，原式.

解决该题的另一个思路是将被积函数中的根号去掉，故还可做变换为（），则，于是，原式

.

此题还可以做倒代换，如设，则

原式.

4 重视对学生直觉思维能力的培养

高等数学中的每一个概念都有几何直观意义，培养学生的直觉思维能力有助于创新思维能力的提高。如对Lagrange中值定理的证明，通过启发式教学，使学生能够看出曲线与直线段之差为的函数，从而设出辅助函数，再利用罗尔中值定理证出结论。对于Lagrange中值定理的证明，还可以设如下的辅助函数

；；

等。

5 培养学生思维的深刻性与灵活性

由于数学自身的特点，我们知到，要想学好数学，不能只看表面，要深入问题的实质，对问题进行分析、抽象、概括，从而培养学生思维的深刻性.因为数学上有许多问题都充分体现出用有限来表示无限的思想.例如，已知，，可得时，的结论.对于重要极限，表面上看是一个公式，实质上，应为无穷多个公式，即，其中为的函数。由此可知，数学公式法则都可以推广至无限。