不等式中“恒成立”“能成立”“恰成立”问题

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法.

一、 不等式恒成立问题的处理方法

1. 转换求函数的最值：

（1） 若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)min＞A，f(x)的下界大于A

（2） 若不等式f(x)＜B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)max＜B,f(x)的上界小于A

2. 主参换位法

3. 分离参数法

步骤：（1） 将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)（或g(λ)≤f(x)）恒成立的形式；

（2） 求f(x)在x∈D上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围.

4. 数形结合

例1 （2010天津理数）设函数f(x)=x2-1，对任意x∈32,+∞，fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是.

【解析】(分离变量法)

依据题意得x2m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈32,+∞上恒定成立，即1m2-4m2≤-3x2-2x+1在x∈32,+∞上恒成立.

当x=32时函数y=-3x2-2x+1取得最小值-53，所以1m2-4m2≤-53，

即(3m2+1)(4m2-3)≥0，解得m≤-32或m≥32.

另解（函数法）：

依据题意得x2m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈32,+∞上恒定成立，

即-3x2-2x+1+4m2-1m2≤0在x∈32,+∞上恒成立.

令t=1x,则t∈0,23 -3t2-2t+1+4m2-1m2≥0在t∈0,23上恒成立，令g(t)=-3t2-2t+1+4m2-1m2

g(0)≥0且g23≥0 得m≤-32或m≥32

【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)≤g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)≥k（或g(x)＞k），所以f(m)≤k，若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为f(m)＜g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)≤k或g(x)＞k，所以f(m)＜k（或f(m)≤k），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值.同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)≥g(x)或f(m)＞g(x)的结论.解决恒成立问题的第二种解法是函数法，即通过构造函数，再利用函数的特性分析解决问题，此例充分体现了分离变量的优越性，显然要比函数法简单且不易出错.

例2 已知函数f(x)=a3x3-32x2+(a+1)x+1，其中a为实数．若不等式f′(x)＞x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立，求实数x的取值范围．

解析：由题设知“ax2-3x+(a+1)＞x2-x-a+1对a∈(0,+∞)都成立，即a(x2+2)-x2-2x＞0对a∈(0,+∞)都成立.设g(a)=(x2+2)a-x2-2x(a∈R)，

则g(a)是一个以a为自变量的一次函数.x2+2＞0恒成立，则对x∈R，g(a)为R上的单调递增函数.所以对a∈(0,+∞)，g(a)＞0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，-x2-2x≥0，-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x｜-2≤x≤0}.

【温馨提示2】此类问题的方法即为主参换位法.学生在解答时必修要搞清楚哪个是参数，哪个是自变量，然后再下笔！

例3 （2010年全国理，20改编）、已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1，若xf′(x)≥t2-2at+1-1e对任意x＞0,a∈［-1,1］恒成立，求实数的取值范围.

解：f′(x)=x+1x+lnx-1=lnx+1x，xf′(x)=xlnx+1

利用导数易得xf′(x)=xlnx+1的最小值是1-1e

t2-2at+1-1e≤1-1e在a∈［-1,1］上恒成立

t2-2at≤0在a∈［-1,1］上恒成立

令g(a)=t2-2at=-2ta+t2在a∈［-1,1］上小于等于零恒成立

g(-1)≤0g(1)≤0即2t+t2≤0-2t+t2≤0t=0

【温馨提示3】若分离变量不容易时，应选择函数法求解.

例4 若对任意x∈R,不等式｜x｜ax恒成立，则实数a的取值范围是.

解析：对x∈R,不等式｜x｜≥ax恒成立

则由一次函数性质及图像知-1≤a≤1，即-1≤a≤1.

【温馨提示4】有时候在解填空题时，恒成立问题也可以考虑用图像来解决.

二、 不等式能成立问题的处理方法

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立,则等价于在区间D上f(x)max＞A；

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立,则等价于在区间D上的f(x)min＜B.

例5 设x＞0，y＞0，若不等式1x+1y+λx+y≤0能成立，则实数λ的取值范围是什么？

解：分离变量得：-λ≥(x+y)1x+1y=2+xy+yx≥4，-λ≥4即λ≤-4

【温馨提示5】此例为不等式能成立问题，解决此问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)≤g(x)，然后解g(x)这个函数的最大值得g(x)≤k（或g(x)＜k），所以f(m)≤k，同学们可以类比得出f(m)＜g(x)或f(m)≥g(x)或f(m)＞g(x)的结论.

变式引深：已知函数f（x）=lnx-12ax2-2x（a≠0）存在单调递减区间，求a的取值范围

解：h′(x)=1x-ax-2=-ax2+2x-1x.

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h′(x)＜0有解.由题设可知,h(x)的定义域是(0,+∞),

而h′(x)＜0在(0,+∞)上有解,就等价于h′(x)＜0在区间(0,+∞)能成立,即a＞1x2-2x,x∈(0,+∞)成立,进而等价于a＞umin(x)成立,其中u(x)=1x2-2x.

由u(x)=1x2-2x=1x-12-1得,umin(x)=-1.于是,a＞-1,

由题设a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)

三、 “恰成立”问题

例6 函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.

解：（分离变量法）：由f(x)=0分离变量得m=-1x2+2x，

即y=m与y=-1x2+2x在(0,+∞)上有且仅有一个交点

m=1或m≤0

另解（函数法）：f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点，

f(x)=mx2-2x+1的图像与x轴正半轴有且仅有一个交点

当m=0时合题意

当m＞0时，有4-4m=0,即m=1合题意

当m＜0时依据函数的图像得m

综合得m=1或m≤0

【温馨提示6】此例为方程恰成立问题，解决恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与方程的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)=g(x)，然后讨论函数y=f(m),y=g(x)的交点的个数.解决恰成立问题也可用函数法求解，此例分离变量法简单.

变式引深2：若只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，求实数a的取值范围.

解：要使只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0

即求抛物线y=x2+2ax+2a在x轴和x轴下方只有一个点

Δ=4a2-8a=0

a=0或a=2

【温馨提示7】此例也为不等式恰成立问题，解决不等式恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与不等式的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)≤g(x)，然后讨论函数y=f(m),y=g(x)在图像上规定区域交点的个数.

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题通过以上实例可以看出分离变量法和函数法是基本的方法，又因分离变量法容易掌握，因此分离变量法因优先考虑，其次广大读者要认真类比三类问题，不可混淆.