识破与破解不等式恒成立问题

一、给你一双慧眼，让你识破不等式恒成立问题

不等式恒成立问题往往难度较大，综合性较强，涉及的知识面广，常与函数、函数的图像与性质紧密联系，着重考查学生分析问题与解决问题的能力，同时考查学生对转化思想的灵活运用.在解题过程中，我们遇到的不等式恒成立问题通常有“隐性的”与“显性的”两种.“显性的”是指在题目的条件中有“恒成立”三个字，而“隐性的” 是指在题目的条件中没有“恒成立”三个字.那么，对于“隐性的”我们又如何来识破呢？其实，我们只要抓住恒成立问题与全称判断之间的联系，在审题过程中抓住全称量词仔细考虑即可.“隐性的” 恒成立问题往往会在条件中出现“所有的”“全部的”“任意的”“一切的”“总有”“都有”等字样.

例1 已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），若x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1，求a的取值范围.

难度系数 0.65

分析 本题可以先去掉绝对值符号，然后将原问题转化为不等式组的恒成立问题，进而转化为函数的最值问题来解答.

小结 此类问题我们可将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围，来确定所求变量的范围.若所求变量为a，则a>f（x）恒成立？圳a> fmax（x），a< f（x）恒成立？圳a< fmin（x）.此题的一般性解法是利用根的分布对-1≤ax2+ x≤1进行讨论，其解题过程的复杂程度显而易见，而将参数从恒成立的不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.当不等式一边的函数的最值较易求出时，我们可直接求出这个最值，然后建立关于参数的不等式进行求解.

二、给你五种基本策略，让你破解不等式恒成立问题

策略一：二次函数在实数集上的判别式策略

对于一元二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R），有：

① f（x）> 0在x∈R上恒成立？圳 a>0且Δ< 0；

② f（x）< 0在x∈R上恒成立？圳 a

例2 已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 .

难度系数 0.85

分析 本题是二次函数在实数集上的恒成立问题，我们可利用判别式法来求解.

解 由于已知不等式恒成立，所以有Δ

小结 本题主要考查一元二次不等式与二次函数的图像、性质之间的关系，难度较小，属于容易题.

策略二：变量易分离的函数最值策略

在不等式中求参数的取值范围过程中，当不等式中的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，我们常用分离参数法求解.此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题.若对于x的取值范围内的任意一个数，都有 f（x）≥g（a）恒成立，则g（a）≤ f min（x）；若对于x的取值范围内的任意一个数，都有 f（x）≤g（a）恒成立，则g（a）≥f max（x）.

例3 若不等式|x+1|+|x-2|>a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 .

难度系数 0.67

分析 先确定|x+1|+|x-2|的取值范围，即只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.

解 当x≤-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2= -2x+1≥3；当-12时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1>3.

综上可知，|x+1|+|x-2|>a成立只要a

小结 此类问题属于变量已经分离的不等式恒成立问题，主要考查绝对值函数，即分段函数最值的求法，考查分类讨论的数学思想.

策略三：变量难分离的函数最值策略

在不等式中求参数的取值范围过程中，当不等式中的参数很难与其他变量完全分离出来，或者能够分离但分离后的函数最值很难求出，此时我们常常直接求含参数的函数式的最值.

例4 设函数f（x）= a2ln x-x2+ax，a>0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求所有实数a，使e-1≤ f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立.（e为自然对数的底数）

难度系数 0.63

分析 本题函数表达式中的参数a很难分离出来，因此我们可以直接利用f（x）在x∈[1，e]上的单调性求函数的最值.

小结 本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数的应用等基础知识，考查函数最值的求法，同时考查抽象概括、推理论证的能力.

策略四：字母多而烦，选定主元也不难策略

在解决不等式的恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的新函数，然后利用相关函数的图像和性质解决问题，同时注意在一个含有多个变量的数学问题中，我们需要选定一个新的自变量作为主元构造函数，从而揭示新的函数关系，使问题更加清晰、明了.一般来说，我们将已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

小结 本题考查多参变量的不等式恒成立问题.本题含有x，t，λ三个变量，我们可以逐步选定主元，将其转化为不同主元的函数最值进行求解.本题首先选定x为主元，求出关于x的函数的最值，其次选定λ为主元，求出关于λ的函数的最值，进而求得参数t的取值范围.本题还考查学生的综合能力与等价转化思想.

策略五：思路不明画图形的数形结合策略

如果不等式中涉及的函数或代数式对应的图像、图形较易画出时，我们可通过图像、图形的位置关系建立不等式，从而求得参数的取值范围.

例6 已知函数y= f（x）=3x+6，x≥-2，-6-3x，x

难度系数 0.70

分析 不等式问题经常要结合函数的图像来解决，根据不等式中变量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上下位置关系确定参数的取值范围.利用数形结合解决不等式问题的关键是构造函数，要求准确作出函数的图像.

解 在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m及y= f（x）的图像，如图所示.由于不等式 f（x）≥2x-m恒成立，所以函数y=2x-m的图像应总在函数y= f（x）的图像的下方.于是当x= -2时，y= -4-m≤0，解得m≥-4.故实数m的取值范围是[-4，+∞）.

小结 本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”与“数”上构“形”的充分体现.由表达式的结构特征，我们能联系到用其几何意义去处理.

莫顺清，中学数学高级教师，教科室主任，湘西州中、高级职称评委，湘西州第一、第二届高中数学学科带头人，湖南省中学数学教学专业委员会会员，湖南省教育学会教育科学规划与管理专业委员会理事，全国教育科学“十一五”规划课题先进工作者。近年来参加或主持国家级、省级、州级课题多项。长期执教高三毕业班，对新课标高考深有研究，10余篇数学专业文章在省级以上数学期刊发表。

（责任编校？筑周峰）