解不等式恒成立应注意的问题

含有参数的不等式的恒成立问题是不等式中的重要题型，也是各类考试的热点，该类问题通常可化为最值问题来解决。但由于这类问题既含参数又含变量,学生在处理时普遍感到难以驾驭,不是方法繁琐,就是思路不清。本文通过不等式恒成立中几个应注意问题的举例说明,帮助学生理清这类问题的解决思路,并避免一些易犯错误。

一、分清主元与参数

例1 设不等式x2+(m-4)x-2m+4＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立，求x的取值范围。

分析:由于常见的思维定势,易将本题看成是关于x的二次不等式，从而思路不清。其实抓住题中“对任意的m∈[-1,1]恒成立”，应将m看成主元，而x是参数。

解：问题可转化为m(x-2)+x2-4x+4＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立。令f(m)=m(x-2)+x2-4x+4，m∈[-1,1]，由于f(m)的图像为一条线段，故f(m)＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立

，

解得x∈(-∞,1)∪(3，+∞)。

点评：这类既含参数又含变量的问题关键首先要分清谁是主元？谁是参数？一般题中对什么恒成立，什么就可以看成主元，另一个则看成参数，进而揭示函数关系，使问题明朗化。另外，f(m)＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立 f(m)min＞0，但若真的去求f(m)min，则需对x-2分大于0、等于0、小于0三种情况讨论，此时抓住f(m)的图像为一条线段，其最小值只可能在端点处取到，故只需考虑两个端点值大于0即可。在求函数最值时，恰当利用数形结合思想，往往可使问题得到简化。

二、巧用分离参数

分离参数就是把含参数的式子分离出来放在不等号的一侧，而含主元的式子放在不等号的另一侧。在解决含参的不等式恒成立问题时常需要用到分离参数法，但学生对何时需要分离参数往往不能准确识别。

例2 (1)已知不等式x2-ax+1＞0对x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围；

(2)已知不等式x2-ax-1＜0对x∈[-1,■]恒成立，求实数a的取值范围。

分析:(1)中令f(x)=x2-ax+1,f(x)＞0对x∈[0,1]恒成立

f(m)min＞0，但求f(m)min需按对称轴的位置分三种情况讨论，比较繁琐。此时可考虑用分离参数法。当x∈[0,1]时，x2-ax+1＞0 ax＜x2+1 a＜x+■对x∈[0,1]恒成立

a＜(x+■)min。

(2)中令g(x)=x2-ax-1，g(x)＜0对x∈[-1,■]恒成立

g(x)max＜0。而函数g(x)=x2-ax-1的图像为开口向上的抛物线，其最大值只可能在区间端点处取到，故只需g(-1)＜0且

g(■)＜0（同例1类似），无需分离参数。而且若用分离参数法也无优越性，因为需按x为正、为负、为0的情况分类讨论。

点评：不等式恒成立问题转化为最值问题时，若所求函数最值需要分类讨论，则可考虑用分离参数法。分离参数后，需求最值的函数便不含参数，求最值较为方便。但若分离参数也要讨论，则视具体情况选择分与不分。

三、最值取到与否对参数范围的影响

在上面的例2(2)中，若将x的范围变为x∈（-1,■），此时最大值取不到，则g(x)＜0对x∈（-1,■）恒成立

，解得-■≤a≤0。

点评：当转化为最值问题时，若最值取不到，则应注意端点处，应停顿思考是否有等号，确保考虑全面，不失分。

四、“f(x)≤g(x)”与“f(x1)≤g(x2)”型的区别

例3 已知两个函数f(x)=x2+2x-m，g(x)=x3+3x2+3x，其中m为实数。

(1)对任意的x∈[-2,2],都有f(x)≤g(x)成立，求m的取值范围；

分析:要注意分清一个变量还是两个变量。

解：(1)设h(x)=g(x)-f(x)=x3+2x2+x+m，问题等价转化为h(x)≥0对任意的x∈[-2,2]恒成立 h(x)min≥0，又h'(x)=3x2+4x+1，令h'(x)=0，得x=-1或x=-■。

由分析可知h(x)min=h(-2)=m-2≥0，解得m≥2。

点评：对于第一问f(x)≤g(x)对x∈D恒成立，学生常易进行不等价转化为f(x)max≤g(x)min，没注意到不等式左右两边是同一个变量，只需要对于同一个x，满足f(x)≤g(x)即可。若转化为f(x)max≤g(x)min，则条件太强了，非等价转换。

（作者单位：江苏省南菁高级中学）