学习立体几何的好帮手

立体几何是必修2的内容，对刚升入高中的学生来说是学习的难点.高一新生处理数学问题还停留在代数的、平面的思维角度.怎样才能使学生比较快地从平面上升到空间，学好立体几何？从学生熟悉的正方体出发无疑是有效的途径.

1.借助正方体认识空间点、直线、平面之间的位置关系

正方体中蕴含了空间点、直线、平面之间的所有位置关系.以正方体为依托，直观感知空间中点、直线、平面之间的位置关系，改变了学生只习惯于在一个平面内考虑问题的状态，帮助学生从已有的平面几何知识拓展到空间立体几何知识，建立空间观念.

2.借助正方体掌握定理的应用

判定定理、性质定理不只是识记，关键是会应用.以下列举的几个问题，以正方体为载体，没有增加太多的其他已知条件，涉及平行、垂直、角度等问题，完全是定理应用的简单的实战演练，可以作为定理的初步应用，帮助学生掌握定理的应用及证明的正确表达.

3.借助正方体解题

例1：（09福建理17）如图2，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.

（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；

（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.

图2

分析：根据已知条件，将原图形补形为正方体ABCD-A′NC′M，如图3所示.（Ⅰ）取AD的中点F，则异面直线NE与AM所成角转化为直线A′F与AM所成的角；（Ⅱ）若存在ES平面AMN，则ESAN，因为AE=EN，所以S应为AN的中点.

图3

学生对原图不熟悉，容易造成畏惧心理.这种心理必然会给解题造成消极影响.把原图补形成学生熟悉的正方体可以有效排除上述心理障碍，从而帮助学生顺利解题.

例2：将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①ACBD；②ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.

分析：教学实践表明，学生因画不出折后的直观图解题而一筹莫展.如图4所示，把折后图融入到正方体中，可以有效帮助学生分析图形，识别直线与平面之间的位置关系，获取正确的解题思路，从而顺利解题.

图4

从点、直线、平面之间的位置关系、定理等立体几何的基础知识的掌握到实际问题的解决都离不开正方体.正方体是学习立体几何的好帮手.