两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解

摘要：基于板考虑初始恒载效应的应变能表达，运用变分原理导出了静力平衡控制微分方程。运用伽辽金法求解得到了四边固支、简支矩形板考虑初始恒载效应的近似活载（或后期荷载）位移表达式，并运用有限元法验证了公式的正确性。各近似位移表达式简单明了，清楚地反映了前期恒载和各因素对活载位移的影响，更为直观地说明了板的恒载效应这一概念。计算分析表明：初始恒载的存在增加了板的弯曲刚度，减小了活载位移；板的恒载效应主要受恒载大小、跨厚比和边界条件等因素的影响；对于较薄或弯曲刚度较小的板，在计算分析和结构设计中应考虑这种恒载效应对承受活载（或后期荷载）作用的受力行为影响。

关键词：近似解；恒载效应；位移；板

中图分类号：TU313文献标志码：A文章编号：16744764（2013）06005809

工程结构中，由于初始恒载的存在，当受到后续活载或荷载时，产生的位移和应力将受初始弯曲的影响而变小的现象被称为恒载效应[14]。Takabatake[12]首次提出该概念，导出了梁考虑恒载效应的静、动力控制微分方程，并对简支梁和两端固定梁的恒载效应进行了研究，后来也分析了这一效应对板动力特性的影响[3]。Zhou等[4]和张家玮等[57]进一步分析了恒载效应对梁受力性能的影响，提出了考虑恒载效应的有限梁单元；周世军[89]提出了可供分析板恒载效应的矩形板单元。后来，张家玮等[1012]又提出了拱形梁考虑恒载效应的非线性控制微分方程，讨论恒载效应对拱形梁的动、静受力特性的影响。刘德贵，等：两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解

目前为止，已有板的恒载效应研究未提出考虑板恒载效应的明确简单的活载（或后期荷载）位移解析解或近似解。本文基于板考虑恒载效应的应变能表达，运用变分原理推导出了直角坐标系下一般形式的静力平衡控制微分方程，运用伽辽金法解出了固支矩形板和简支矩形板考虑恒载效应的活载位移近似解，并用有限元法验证了近似解公式的正确性。该公式可直接用于考虑了恒载效应矩形板的受力分析。运用活载位移近似解，进行了不同长宽比的2种矩形板的恒载大小和厚度对活载（或后期荷载）位移影响分析。分析结果表明：板实际存在这种恒载效应，在较薄或弯曲刚度较小的板中表现明显，初始恒载的存在提高了板承受活载的弯曲刚度，减小了板活载位移；这种恒载效应主要受恒载大小、跨厚比和边界条件等因素的影响；对于较薄或弯曲刚度较小的板，计算分析中应考虑实际存在的这一恒载效应对板的受力行为产生的影响，以做到精确分析和合理结构设计。

从以上2种不同支撑条件的矩形板考虑恒载效应的活载位移计算结果可以看出：考虑了初始恒载效应的活载或后期荷载伽辽金近似解计算结果明显小于弹性理论计算结果，这说明初始恒载提高了板在承受活载（或后期荷载）时的弯曲刚度。而且，恒载越大，板的厚度越小，这种初始恒载效应越明显；简支边界条件板的恒载效应明显于固支边界条件板；对上述2种矩形板来说，荷载和厚度、短边尺寸一定，恒载效应随长宽比的增加而增加。导致这种与弹性薄板理论计算结果差异的主要原因在于：已有弹性薄板理论忽略了初始荷载产生的初始弯曲应力与后期荷载应变耦合所产生的附加应变能，以致最终形成了与已有弹性薄板理论不同的应变能表达和静力平衡控制微分方程及活载或后期荷载位移计算公式。另外，上述计算分析中，考虑恒载效应的总位移均小于或略大于板的厚度，且板在最大的恒载（1.60）和活载的作用下，按弹性理论[16]计算获得的最大应力分别为：139.3、74.6 MPa。表明活载和恒载合理的取值范围内。这说明在合理的恒载和活载的取值范围内，2种不同支撑条件的矩形板恒载效应明显，因此在板的计算和分析中应考虑这种恒载效应。

6结论

基于考虑初始恒载效应的应变能公式，运用变分原理导出考虑板恒载效应一般形式的静力平衡控制微分方程；运用伽辽金法求解得到了固支和简支矩形板考虑恒载效应的活载位移近似计算公式，提供了可供查询的活载位移表达式中的常数表格。并运用位移表达式进行了计算分析，得到了有关板恒载效应的结论。

1）2种矩形板考虑恒载效应的伽辽金位移近似解的获得，更为清楚地说明了恒载对板承受活载（或后期荷载）受力性能产生的影响，初始恒载增大了板活载的弯曲刚度，减小了活载位移；各位移表达式简图2简支矩形板wmax/wmax-/0关系曲线

单明了，物理意义明确，可方便运用于2种矩形板在均布荷载作用下考虑恒载效应的受力分析。

2）矩形板的恒载效应主要受恒载大小、板的尺寸、厚度和边界条件的影响。初始恒载越大，跨厚比越大，边界约束越弱，这种效应越明显。

3）恒载效应对板的受力性能产生了不可忽略的影响，在厚度较薄或弯曲刚度较小的板中表现尤为明显，在计算分析与结构设计中，应充分细致考虑实际存在的这一恒载效应，以做到精确分析与合理设计。

参考文献：

[1]Takabatake H. Effects of dead loads in static beams [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1990， 116（4）： 11021120.

[2]Takabatake H. Effects of dead loads on natural frequencies of beams [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1991， 117（4）： 10391052.

[3]Takabatake H. Effects of dead loads in dynamic plate [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1992， 118（1）： 3451.

[4]Zhou S J， Zhu X. Analysis of effect of dead loads on natural frequency of beams using finite element techniques [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1996， 122（5）： 512516.

[5]张家玮，赵建昌.恒载对大挠度梁变形影响的研究[J].兰州交通大学学报，2009，28（1）： 3133.

[6]张家玮.恒载效应对梁变形影响的数值分析法[J].甘肃科学学报，2009，21（3）：139142.

[7]张家玮，刘合敏，杨国治，等.考虑初始恒载效应影响下的梁动力特性的有限元分析[J].振动与冲击，2012，31（12）：120124.

[8]Zhou S J. Loadinduced stiffness matrix of plates [J]. Canadian Journal of Civil Engineering， 2002， 29（1）： 181184.

[9]周世军.板恒载效应的非线性分析的刚度法[J].振动与冲击，2007，26（2）：3336.

[10]张家玮，周世军.恒载效应对拱形梁自振频率的影响分析[J].振动与冲击，2009，28（8）：163167.

[11]周世军，张家玮.恒载效应对拱形梁的影响分析[J].工程力学，2010，27（7）：120125.

[12]张家玮，周世军，赵建昌.考虑恒载效应的拱形梁静力近似解[J].计算力学学报，2010，27（4）：655660.

[13]Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity [M]. 3rd ed. Pergamon Press， 1982.

[14]老大中.变分法基础[M].北京，国防工业出版社，2007.

[15]Szileard R.板的理论与分析[M].陈太平，等.译.北京：中国铁道出版社，1984.

[16]Timoshenko S， WoinowskyKrieger S. Theory of plates and shells [M]. 2nd ed. MeGrawHill Book Company， 1959.